公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 2% 投资 €3 000，按月复利。求 9 年后的投资价值 FV。

PV = €3 0002% / 12n = 9

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €200 000 的贷款在 20 年内以等额月供偿还。年利率 5.4%，按月复利。求月供 A。

P = €200 0005.4% / 12N = 240

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€14 000, €13 000, €19 000。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

r = 8%CF₀ = −45 000CF₁ = 14 000CF₂ = 13 000CF₃ = 19 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €80 000。其现金流在第 1 年年末为 €19 000，之后每年增长 3%，直到第 5 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €80 000CF₁ = €19 000g = 3%n = 5r = 10%

NPV = €

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 6%，每半年付息一次，12 年后到期。到期收益率为每年 8%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 6%YTM = 8%n = 12

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 8% 的票息，分两次半年支付，7 年后到期。其售价为 €1 277。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8% (2×)n = 7P = €1 277

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €12 000 000 的股权和价值 €1 000 000 的债务。其股权成本为 14%，税前债务成本为 3%，税率为 28%。求 WACC。

E = €12 000 000D = €1 000 000r_e = 14%r_d = 3%T = 28%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司有 4 000 000 股股票，股价为 €41.50；其股权账面价值为 €66 400 000。公司刚支付了每股 €1.50 的股利，股利每年增长 3%。其债务市场价值为 €49 800 000，税前成本为 6%。税率为 20%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。

N = 4 000 000P₀ = €41.50股权账面价值 = €66 400 000D₀ = €1.50g = 3%D = €49 800 000r_d = 6%T = 20%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

一家公司以每件 €50 的价格销售 1 000 件。单位变动成本为 €45，固定成本为 €2 500。求该销售水平下的经营杠杆系数 DOL。

Q = 1 000p = €50v = €45F = €2 500

DOL =

10.盈亏平衡分析困难

一家公司每月以每件 €65 销售 1 500 件，单位变动成本为 €45，固定成本为每月 €24 000。单位变动成本上涨 €4，价格保持不变。现在每月必须销售多少件 Q 才能保持相同的利润？

Q = 1 500p = €65v = €45 → €49F = €24 000

Q = 件

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 3591 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.02/12 = 0.001667

N = m·n = 12·9 = 108

终值

FV = 3 000·(1 + 0.001667)¹⁰⁸ = 3 000·1.197 = €3 591.11

答案

FV = €3 591.11

2.货币的时间价值

答案: A = 1365 €

月利率和还款期数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·20 = 240

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.3404

A = 200 000·0.0045/(1 − 0.3404) = €1 364.50

答案

A = €1 364.50

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −5809 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.08)¹ = 14 000/1.08 = 12 962.96

CF₂/(1 + 0.08)² = 13 000/1.166 = 11 145.40

CF₃/(1 + 0.08)³ = 19 000/1.26 = 15 082.81

相加

NPV = €−5 808.82

答案

NPV = €−5 808.82

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: NPV = −3951 €

增长型年金的现值

((1.03)/(1.1))⁵ = 0.7198

PV = 19 000/(0.1 − 0.03)·(1 − 0.7198) = 76 049.40

NPV

NPV = 76 049.40 − 80 000 = −€3 950.60

答案

NPV = −€3 950.60

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

5.债券定价与收益率

答案: P = 847.5 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €30.00, i = 0.04, N = 24

票息的现值

€30.00·(1 − 0.3901)/0.04 = €457.41

面值的现值

€1 000·0.3901 = €390.12

价格

P = €847.53

答案

P = €847.53

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 3.503 %

每期

C = €40.00, N = 14

数值求解

i = 1.752% 每半年

YTM

YTM = 2·1.752% = 3.503%

答案

YTM = 3.503%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 13.09 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €13 000 000, E/V = 0.9231, D/V = 0.07692

WACC

WACC = 0.9231·14% + 0.07692·3%·(1 − 0.28) = 13.09%

答案

WACC = 13.09%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.279 %

股权成本

D₁ = 1.5·1.03 = €1.54

r_e = 1.545/41.5 + 0.03 = 6.723%

市场价值

E = 4 000 000·€41.50 = €166 000 000

V = €215 800 000, E/V = 0.7692, D/V = 0.2308

WACC

WACC = 0.7692·6.723% + 0.2308·6%·(1 − 0.2) = 6.279%

答案

WACC = 6.279%

9.盈亏平衡分析

答案: DOL = 2

经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。

边际贡献总额

CM = 1 000·(50 − 45) = €5 000

营业利润

Π = 5 000 − 2 500 = €2 500

DOL

DOL = 5 000/2 500 = 2

答案

DOL = 2

10.盈亏平衡分析

答案: Q = 1875 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

当前利润

Π = 1 500·(65 − 45) − 24 000 = €6 000

新的单位边际贡献

65 − 49 = €16

保持相同利润所需的件数

Q = (24 000 + 6 000)/16 = 1 875

答案

Q = 1 875 件

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