货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你以每年 5% 的利率连续复利投资 €5 000。求 19 年后的价值 FV。
PV = €5 000r = 5%t = 19
FV = €
2.货币的时间价值困难
你在 27 年内每月月末存入 €500。账户年利率 3%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。
A = €5003% / 12N = 324
FV = €
3.NPV 与 IRR中等
一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€10 000, €13 000, €17 000。资本成本为 10%。求净现值 NPV。
r = 10%CF0 = −45 000CF1 = 10 000CF2 = 13 000CF3 = 17 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
项目 A 需投入 €40 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €23 000, €15 500, €9 000。项目 B 需投入 €45 000，回报为 €14 000, €17 500, €24 000。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。
A: −40 000, 23 000, 15 500, 9 000B: −45 000, 14 000, 17 500, 24 000
r* = %
5.债券定价与收益率中等
一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4%，每半年付息一次，12 年后到期。到期收益率为每年 5.5%。 求该债券的价格 P。
F = €1 000票面利率 = 4%YTM = 5.5%n = 12
P = €
6.债券定价与收益率困难
一只剩余期限为 11 年的债券（面值 €1 000，年票息 8%）售价 €1 075。发行人可在 3 年后以 €1 080 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 8%P = €1 075赎回价格 = €1 080赎回时间 3 年
YTC = %
7.CAPM 与 WACC中等
一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.5。其股权资本成本为 12%，税前债务成本为 4%，税率为 30%。求 WACC。
D/E = 0.5re = 12%rd = 4%T = 30%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有5 000 000 股、每股 €23.50 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 4.5%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 0.9，无风险利率为 4%，市场回报率为 9%。求 WACC。
β = 0.9rf = 4%rm = 9%rd = 4.5%T = 25.8%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
一种产品售价 €31，单位变动成本为 €25。固定成本为每月 €9 000，利润按 25% 征税。每月必须售出多少件 Q 才能获得税后 €4 500？
p = €31v = €25F = €9 000T = 25%税后利润 = €4 500
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
某产品售价每件 €7，单位变动成本 €4，每年固定成本 €7 500。预算销量为 3 750 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。
F = €7 500p = €7v = €4预算 = 3 750
MS = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: FV = 12929 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
指数
r·t = 0.05·19 = 0.95
e0.95 = 2.586
终值
FV = 5 000·2.586 = €12 928.55
答案
FV = €12 928.55
2.货币的时间价值
答案: FV = 249127 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和存款次数
i = 0.03/12 = 0.0025
N = 12·27 = 324
存款的终值
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 500·(2.246 − 1)/0.0025 = €249 127.38
答案
FV = €249 127.38
你自己存入了 €162 000；其余是利息。
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = −12393 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0.1)1 = 10 000/1.1 = 9 090.91
CF2/(1 + 0.1)2 = 13 000/1.21 = 10 743.80
CF3/(1 + 0.1)3 = 17 000/1.331 = 12 772.35
相加
NPV = €−12 392.94
答案
NPV = €−12 392.94
NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: r* = 9.034 %
交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。
现金流之差
ΔCF0 = −45 000 − (−40 000) = −5 000
ΔCF1 = 14 000 − 23 000 = −9 000
ΔCF2 = 17 500 − 15 500 = 2 000
ΔCF3 = 24 000 − 9 000 = 15 000
差额的 IRR
NPVΔ(9%) = 9.23
NPVΔ(10%) = −259.20
r* = 9.034%
答案
r* = 9.034%
校核：在 9.034% 时两个 NPV 都是 €1 075.57。
5.债券定价与收益率
答案: P = 869.5 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €20.00, i = 0.0275, N = 24
票息的现值
€20.00·(1 − 0.5215)/0.0275 = €348.02
面值的现值
€1 000·0.5215 = €521.48
价格
P = €869.49
答案
P = €869.49
收益率高于票面利率，所以债券折价出售。
6.债券定价与收益率
答案: YTC = 7.586 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
1075 = 80·(1 − (1 + y)−3)/y + 1080/(1 + y)3
数值求解
y = 7%: €1 091.55
y = 8%: €1 063.51
YTC = 7.586%
答案
YTC = 7.586%
到期收益率为 7%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 8.933 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
由 D/E 求权重
E/V = 1/(1 + 0.5) = 0.6667
D/V = 0.5/(1 + 0.5) = 0.3333
WACC
WACC = 0.6667·12% + 0.3333·4%·(1 − 0.3) = 8.933%
答案
WACC = 8.933%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 8.289 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 5 000 000·€23.50 = €117 500 000
D = 5 000·€1 000 = €5 000 000
股权成本（CAPM）
re = 4% + 0.9·5% = 8.5%
权重
V = €122 500 000, E/V = 0.9592, D/V = 0.04082
WACC
WACC = 0.9592·8.5% + 0.04082·4.5%·(1 − 0.258) = 8.289%
答案
WACC = 8.289%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 2500 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
所需的税前利润
4 500/(1 − 0.25) = €6 000
所需销量
Q = (9 000 + 6 000)/6 = 2 500
答案
Q = 2 500 件
10.盈亏平衡分析
答案: MS = 33.33 %
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
盈亏平衡销量
Q = F/(p − v) = 7 500/3 = 2 500
安全边际
MS = (3 750 − 2 500)/3 750·100 = 33.33%
答案
MS = 33.33%
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