货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你以名义年利率 4% 投资 €3 000，按季度复利。求 9 年后的投资价值 FV。
PV = €3 0004% / 4n = 9
FV = €
2.货币的时间价值困难
你希望在 7 年后得到 €10 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 5.4%、按月复利的账户。求每月存款额 A。
FV = €10 0005.4% / 12N = 84
A = €
3.NPV 与 IRR中等
一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€16 000, €32 000, €21 000, €25 000。资本成本为 9%。求净现值 NPV。
r = 9%CF0 = −75 000CF1 = 16 000CF2 = 32 000CF3 = 21 000CF4 = 25 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €16 000, €15 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −25 000CF1 = 16 000CF2 = 15 000
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券每年支付 5% 的票息，9 年后到期。其到期收益率从 4% 变为 2%。债券价格变化多少 ΔP？
F = €1 000票面利率 = 5%n = 9y1 = 4%y2 = 2%
ΔP = €
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 7 年后到期，售价为 €1 055。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 8%n = 7P = €1 055
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €2 000 000 的股权和价值 €3 000 000 的债务。其股权成本为 13%，税前债务成本为 3%，税率为 20%。求 WACC。
E = €2 000 000D = €3 000 000re = 13%rd = 3%T = 20%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有4 000 000 股、每股 €48.00 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 3.5%，税率为 21%。股票的 β 系数为 0.6，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 8%。求 WACC。
β = 0.6rf = 3.5%rm = 8%rd = 3.5%T = 21%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
某产品售价每件 €8，单位变动成本 €4。每月固定成本为 €8 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €2 000？
F = €8 000p = €8v = €4利润 = €2 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
一家公司以每件 €27 销售 3 750 件，单位变动成本为 €25，固定成本为 €5 000。如果销量增加 10%，营业利润变化百分之多少 %ΔΠ？
Q = 3 750p = €27v = €25F = €5 000%ΔQ = +10%
%ΔΠ = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: FV = 4292 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = r/m = 0.04/4 = 0.01
N = m·n = 4·9 = 36
终值
FV = 3 000·(1 + 0.01)36 = 3 000·1.431 = €4 292.31
答案
FV = €4 292.31
2.货币的时间价值
答案: A = 98.23 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和存款次数
i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045
N = 12·7 = 84
存款额
A = FV·i/((1 + i)N − 1) = 10 000·0.0045/(1.458 − 1) = €98.23
答案
A = €98.23
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = 539.1 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0.09)1 = 16 000/1.09 = 14 678.90
CF2/(1 + 0.09)2 = 32 000/1.188 = 26 933.76
CF3/(1 + 0.09)3 = 21 000/1.295 = 16 215.85
CF4/(1 + 0.09)4 = 25 000/1.412 = 17 710.63
相加
NPV = €539.14
答案
NPV = €539.14
NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 15.81 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(15%) = 255.20
NPV(20%) = −1 250.00
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 15 + 5·255.20/(255.20 − (−1 250.00)) = 15.85%
精确: NPV(15.81%) = 0 → IRR = 15.81%
答案
IRR = 15.81%
5.债券定价与收益率
答案: ΔP = 170.5 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
按原收益率计算的价格
C = €50.00, i = 0.04, N = 9
€50.00·(1 − 0.7026)/0.04 + €1 000·0.7026 = €371.77 + €702.59 = €1 074.35
按新收益率计算的价格
C = €50.00, i = 0.02, N = 9
€50.00·(1 − 0.8368)/0.02 + €1 000·0.8368 = €408.11 + €836.76 = €1 244.87
变化
ΔP = 1 244.87 − 1 074.35 = €170.51
答案
ΔP = €170.51
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 6.98 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€1 055 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
数值求解
P(6%) = €1 111.65, P(7%) = €1 053.89
YTM = 6.98%
答案
YTM = 6.98%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 6.64 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €5 000 000, E/V = 0.4, D/V = 0.6
WACC
WACC = 0.4·13% + 0.6·3%·(1 − 0.2) = 6.64%
答案
WACC = 6.64%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 5.861 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 4 000 000·€48.00 = €192 000 000
D = 20 000·€1 050 = €21 000 000
股权成本（CAPM）
re = 3.5% + 0.6·4.5% = 6.2%
权重
V = €213 000 000, E/V = 0.9014, D/V = 0.09859
WACC
WACC = 0.9014·6.2% + 0.09859·3.5%·(1 − 0.21) = 5.861%
答案
WACC = 5.861%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 2500 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
单位边际贡献
p − v = 8 − 4 = €4
实现目标利润的销量
Q = (F + 利润)/(p − v) = (8 000 + 2 000)/4 = 2 500
答案
Q = 2 500 件
10.盈亏平衡分析
答案: %ΔΠ = 30 %
经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。
边际贡献和利润
CM = 3 750·2 = €7 500
Π = 7 500 − 5 000 = €2 500
DOL
DOL = 7 500/2 500 = 3
利润的变化
%ΔΠ = 3·(+10%) = +30%
答案
%ΔΠ = +30%
校核：新利润 = 4 125·2 − 5 000 = €3 250.00。
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