货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你在 2 年后需要 €50 000。某账户年利率 4%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。
FV = €50 0004% / 12n = 2
PV = €
2.货币的时间价值困难
一笔 €8 000 的贷款在 5 年内以等额月供偿还。年利率 3%，按月复利。求月供 A。
P = €8 0003% / 12N = 60
A = €
3.NPV 与 IRR中等
一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€29 000, €27 000, €33 000, €15 000。资本成本为 10%。求净现值 NPV。
r = 10%CF0 = −75 000CF1 = 29 000CF2 = 27 000CF3 = 33 000CF4 = 15 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
一个项目今天需投入 €150 000。其现金流在第 1 年年末为 €22 500，之后每年增长 3%，直到第 8 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 10%。求净现值 NPV。
C0 = €150 000CF1 = €22 500g = 3%n = 8r = 10%
NPV = €
5.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券每年支付 2% 的票息，12 年后到期。其到期收益率从 2.5% 变为 1.5%。债券价格变化多少 ΔP？
F = €1 000票面利率 = 2%n = 12y1 = 2.5%y2 = 1.5%
ΔP = €
6.债券定价与收益率困难
一只剩余期限为 14 年的债券（面值 €1 000，年票息 5%）售价 €1 106。发行人可在 6 年后以 €1 050 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 5%P = €1 106赎回价格 = €1 050赎回时间 6 年
YTC = %
7.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €4 000 000 的股权和价值 €4 000 000 的债务。其股权成本为 11%，税前债务成本为 7%，税率为 20%。求 WACC。
E = €4 000 000D = €4 000 000re = 11%rd = 7%T = 20%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
一家公司有 2 000 000 股股票，股价为 €20.50；其股权账面价值为 €24 600 000。公司刚支付了每股 €1.00 的股利，股利每年增长 2%。其债务市场价值为 €12 300 000，税前成本为 4.5%。税率为 28%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。
N = 2 000 000P0 = €20.50股权账面价值 = €24 600 000D0 = €1.00g = 2%D = €12 300 000rd = 4.5%T = 28%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
一家公司以每件 €16 的价格销售 3 000 件。单位变动成本为 €6，固定成本为 €15 000。求该销售水平下的经营杠杆系数 DOL。
Q = 3 000p = €16v = €6F = €15 000
DOL =
10.盈亏平衡分析困难
一家公司每月以每件 €27 销售 12 500 件，单位变动成本为 €12，固定成本为每月 €75 000。单位变动成本上涨 €3，价格保持不变。现在每月必须销售多少件 Q 才能保持相同的利润？
Q = 12 500p = €27v = €12 → €15F = €75 000
Q = 件
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 46162 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = 0.04/12 = 0.003333
N = 12·2 = 24
现值
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1.083 = €46 161.96
答案
PV = €46 161.96
2.货币的时间价值
答案: A = 143.7 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和还款期数
i = 0.03/12 = 0.0025
N = 12·5 = 60
每期还款
N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。
(1 + i)−N = 0.8609
A = 8 000·0.0025/(1 − 0.8609) = €143.75
答案
A = €143.75
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = 8716 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0.1)1 = 29 000/1.1 = 26 363.64
CF2/(1 + 0.1)2 = 27 000/1.21 = 22 314.05
CF3/(1 + 0.1)3 = 33 000/1.331 = 24 793.39
CF4/(1 + 0.1)4 = 15 000/1.464 = 10 245.20
相加
NPV = €8 716.28
答案
NPV = €8 716.28
NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: NPV = −18522 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
增长型年金的现值
((1.03)/(1.1))8 = 0.591
PV = 22 500/(0.1 − 0.03)·(1 − 0.591) = 131 477.92
NPV
NPV = 131 477.92 − 150 000 = −€18 522.08
答案
NPV = −€18 522.08
NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。
5.债券定价与收益率
答案: ΔP = 105.8 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
按原收益率计算的价格
C = €20.00, i = 0.025, N = 12
€20.00·(1 − 0.7436)/0.025 + €1 000·0.7436 = €205.16 + €743.56 = €948.71
按新收益率计算的价格
C = €20.00, i = 0.015, N = 12
€20.00·(1 − 0.8364)/0.015 + €1 000·0.8364 = €218.15 + €836.39 = €1 054.54
变化
ΔP = 1 054.54 − 948.71 = €105.83
答案
ΔP = €105.83
6.债券定价与收益率
答案: YTC = 3.753 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
1106 = 50·(1 − (1 + y)−6)/y + 1050/(1 + y)6
数值求解
y = 3%: €1 150.22
y = 4%: €1 091.94
YTC = 3.753%
答案
YTC = 3.753%
到期收益率为 3.997%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 8.3 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €8 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5
WACC
WACC = 0.5·11% + 0.5·7%·(1 − 0.2) = 8.3%
答案
WACC = 8.3%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 6.114 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
股权成本
D1 = 1·1.02 = €1.02
re = 1.02/20.5 + 0.02 = 6.976%
市场价值
E = 2 000 000·€20.50 = €41 000 000
V = €53 300 000, E/V = 0.7692, D/V = 0.2308
WACC
WACC = 0.7692·6.976% + 0.2308·4.5%·(1 − 0.28) = 6.114%
答案
WACC = 6.114%
9.盈亏平衡分析
答案: DOL = 2
经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。
边际贡献总额
CM = 3 000·(16 − 6) = €30 000
营业利润
Π = 30 000 − 15 000 = €15 000
DOL
DOL = 30 000/15 000 = 2
答案
DOL = 2
10.盈亏平衡分析
答案: Q = 15625 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
当前利润
Π = 12 500·(27 − 12) − 75 000 = €112 500
新的单位边际贡献
27 − 15 = €12
保持相同利润所需的件数
Q = (75 000 + 112 500)/12 = 15 625
答案
Q = 15 625 件
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