公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 4% 的利率连续复利投资 €1 000。求 2 年后的价值 FV。

PV = €1 000r = 4%t = 2

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €20 000 的贷款在 6 年内按月等额偿还，年利率 4.8%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？

P = €20 0004.8% / 12N = 72

I = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €400 000。它在第一年年末产生 €26 000，之后现金流每年永久增长 2%。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €400 000CF₁ = €26 000g = 2%r = 10%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一笔 €20 000 的投资在 7 年内每年年末回报 €4 000。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €20 000CF = €4 000n = 7

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 2%，每半年付息一次，3 年后到期。到期收益率为每年 7%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 2%YTM = 7%n = 3

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 2% 的票息，3 年后到期。到期收益率为 5.5%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 2%n = 3YTM = 5.5%

D = 年

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的股权价值为 €6 000 000，债务价值为 €1 000 000。其 WACC 为 10.8%，税前债务成本为 5%，税率为 28%。求股权资本成本 r_e。

E = €6 000 000D = €1 000 000WACC = 10.8%r_d = 5%T = 28%

r_e = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股票在当前负债权益比 0.4 下的贝塔为 1。公司计划把负债权益比提高到 1.25。税率为 30%，无风险利率为 2%，市场风险溢价为 4%。求变化后的股权资本成本 r_e。

β_L = 1D/E₁ = 0.4D/E₂ = 1.25T = 30%r_f = 2%r_m − r_f = 4%

r_e = %

9.盈亏平衡分析中等

一家公司以每件 €57 的价格销售 6 400 件。单位变动成本为 €45，固定成本为 €48 000。求该销售水平下的经营杠杆系数 DOL。

Q = 6 400p = €57v = €45F = €48 000

DOL =

10.盈亏平衡分析困难

一家公司销售两种产品。产品 A 售价 €13，变动成本 €8；产品 B 售价 €30，变动成本 €10。两者按固定组合销售，每销售 5 件 A 就销售 2 件 B。固定成本为每月 €13 000。求达到盈亏平衡所需的总件数 Q（A 和 B 合计）。

p_A = €13, v_A = €8p_B = €30, v_B = €10A : B = 5 : 2F = €13 000

Q = 件

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 1083 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.04·2 = 0.08

e^0.08 = 1.083

终值

FV = 1 000·1.083 = €1 083.29

答案

FV = €1 083.29

2.货币的时间价值

答案: I = 3058 €

月供

i = 0.004, N = 72

A = 20 000·0.004/(1 − (1 + 0.004)⁻⁷²) = €320.25

利息总额

I = N·A − P = 72·320.2 − 20 000 = €3 057.75

答案

I = €3 057.75

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −75000 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 26 000/(0.1 − 0.02) = 325 000.00

NPV

NPV = 325 000.00 − 400 000 = −€75 000.00

答案

NPV = −€75 000.00

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 9.196 %

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻⁷)/i = 20 000/4 000 = 5

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 9%: 5.033

i = 10%: 4.868

IRR = 9.196%

答案

IRR = 9.196%

5.债券定价与收益率

答案: P = 866.8 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €10.00, i = 0.035, N = 6

票息的现值

€10.00·(1 − 0.8135)/0.035 = €53.29

面值的现值

€1 000·0.8135 = €813.50

价格

P = €866.79

答案

P = €866.79

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: D = 2.938 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 20/1.055 = 18.96, t·PV = 18.96

t = 2: 20/1.113 = 17.97, t·PV = 35.94

t = 3: 1020/1.174 = 868.65, t·PV = 2 605.94

久期

P = 905.57

D = 2 660.83/905.57 = 2.938

答案

D = 2.938 年

7.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 12 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €7 000 000, E/V = 0.8571, D/V = 0.1429

WACC 中的债务部分

0.1429·5%·(1 − 0.28) = 0.5143%

股权成本

r_e = (10.8% − 0.5143%)/0.8571 = 12%

答案

r_e = 12%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 7.859 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

β_U = 1/(1 + 0.7·0.4) = 0.7813

按新的 D/E 重新加杠杆

β_L = 0.7813·(1 + 0.7·1.25) = 1.465

股权成本（CAPM）

r_e = 2% + 1.465·4% = 7.859%

答案

r_e = 7.859%

9.盈亏平衡分析

答案: DOL = 2.667

经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。

边际贡献总额

CM = 6 400·(57 − 45) = €76 800

营业利润

Π = 76 800 − 48 000 = €28 800

DOL

DOL = 76 800/28 800 = 2.667

答案

DOL = 2.667

10.盈亏平衡分析

答案: Q = 1400 件

有销售组合时的盈亏平衡：当产品按固定比例销售时，使用加权平均边际贡献：把每种产品的 p − v 按其件数所占份额加权。盈亏平衡件数 = F/（加权边际贡献），再按组合比例分配。

边际贡献

cm_A = €5, cm_B = €20

加权边际贡献

(5·5 + 2·20)/7 = €9.29

盈亏平衡件数

Q = 13 000/9.286 = 1 400

A: 1 000, B: 400

答案

Q = 1 400 件

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