货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
一处房产预计明年获得 €10 000 的净租金。租金预计每年永久增长 3%。要求回报率为每年 8%。求该房产今天的价值 PV。
C1 = €10 000g = 3%r = 8%
PV = €
2.货币的时间价值困难
你在 14 年内每月月末存入 €150。账户年利率 3%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。
A = €1503% / 12N = 168
FV = €
3.NPV 与 IRR中等
一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€8 000, €5 000, €6 000, €5 000。资本成本为 6%。求净现值 NPV。
r = 6%CF0 = −20 000CF1 = 8 000CF2 = 5 000CF3 = 6 000CF4 = 5 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €14 500, €18 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −25 000CF1 = 14 500CF2 = 18 500
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4.5% 的票息，14 年后到期。其到期收益率从 7% 变为 8.5%。债券价格变化多少 ΔP？
F = €1 000票面利率 = 4.5%n = 14y1 = 7%y2 = 8.5%
ΔP = €
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 3% 的债券 7 年后到期，售价为 €885。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 3%n = 7P = €885
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
一只贝塔为 0.6 的股票要求回报为 5.5%。无风险利率为 2.5%。CAPM 隐含的预期市场回报 rm 是多少？
β = 0.6re = 5.5%rf = 2.5%
rm = %
8.CAPM 与 WACC困难
一家公司有 1 000 000 股股票，股价为 €27.50；其股权账面价值为 €11 000 000。公司刚支付了每股 €2.90 的股利，股利每年增长 2%。其债务市场价值为 €27 500 000，税前成本为 3%。税率为 25%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。
N = 1 000 000P0 = €27.50股权账面价值 = €11 000 000D0 = €2.90g = 2%D = €27 500 000rd = 3%T = 25%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
一家公司以每件 €30 的价格销售 3 000 件。单位变动成本为 €20，固定成本为 €15 000。求该销售水平下的经营杠杆系数 DOL。
Q = 3 000p = €30v = €20F = €15 000
DOL =
10.盈亏平衡分析困难
某产品售价每件 €45，单位变动成本 €30，每年固定成本 €12 000。预算销量为 1 040 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。
F = €12 000p = €45v = €30预算 = 1 040
MS = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 200000 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
增长型永续年金
PV = C1/(r − g) = 10 000/(0.08 − 0.03) = 10 000/0.05 = €200 000.00
答案
PV = €200 000.00
2.货币的时间价值
答案: FV = 31270 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和存款次数
i = 0.03/12 = 0.0025
N = 12·14 = 168
存款的终值
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 150·(1.521 − 1)/0.0025 = €31 269.84
答案
FV = €31 269.84
你自己存入了 €25 200；其余是利息。
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = 995.3 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.06)1 = 8 000/1.06 = 7 547.17
CF2/(1 + 0.06)2 = 5 000/1.124 = 4 449.98
CF3/(1 + 0.06)3 = 6 000/1.191 = 5 037.72
CF4/(1 + 0.06)4 = 5 000/1.262 = 3 960.47
相加
NPV = €995.34
答案
NPV = €995.34
NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 19.78 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(15%) = 1 597.35
NPV(20%) = −69.44
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 15 + 5·1 597.35/(1 597.35 − (−69.44)) = 19.79%
精确: NPV(19.78%) = 0 → IRR = 19.78%
答案
IRR = 19.78%
5.债券定价与收益率
答案: ΔP = −101.8 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
按原收益率计算的价格
C = €45.00, i = 0.07, N = 14
€45.00·(1 − 0.3878)/0.07 + €1 000·0.3878 = €393.55 + €387.82 = €781.36
按新收益率计算的价格
C = €45.00, i = 0.085, N = 14
€45.00·(1 − 0.3191)/0.085 + €1 000·0.3191 = €360.45 + €319.14 = €679.60
变化
ΔP = 679.60 − 781.36 = −€101.77
答案
ΔP = −€101.77
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 4.986 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€885 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
数值求解
P(4%) = €939.98, P(5%) = €884.27
YTM = 4.986%
答案
YTM = 4.986%
7.CAPM 与 WACC
答案: rm = 7.5 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场风险溢价
rm − rf = (5.5% − 2.5%)/0.6 = 5%
市场回报
rm = 2.5% + 5% = 7.5%
答案
rm = 7.5%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 7.503 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
股权成本
D1 = 2.9·1.02 = €2.96
re = 2.958/27.5 + 0.02 = 12.76%
市场价值
E = 1 000 000·€27.50 = €27 500 000
V = €55 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5
WACC
WACC = 0.5·12.76% + 0.5·3%·(1 − 0.25) = 7.503%
答案
WACC = 7.503%
9.盈亏平衡分析
答案: DOL = 2
经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。
边际贡献总额
CM = 3 000·(30 − 20) = €30 000
营业利润
Π = 30 000 − 15 000 = €15 000
DOL
DOL = 30 000/15 000 = 2
答案
DOL = 2
10.盈亏平衡分析
答案: MS = 23.08 %
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
盈亏平衡销量
Q = F/(p − v) = 12 000/15 = 800
安全边际
MS = (1 040 − 800)/1 040·100 = 23.08%
答案
MS = 23.08%
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