货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
一份年金在每年年末支付 €1 500，共 13 年。年利率为 3%。求该年金的现值 PV。
A = €1 500i = 3%n = 13
PV = €
2.货币的时间价值困难
你以每年 2.4% 的利率借入 €8 000，按月复利，每月月末偿还 €250。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。
P = €8 000A = €2502.4% / 12
N = 次还款
3.NPV 与 IRR中等
一台机器今天花费 €30 000。它在 5 年内每年年末产生 €8 000，之后可以以 €7 500 出售。资本成本为 6%。求净现值 NPV。
C0 = €30 000CF = €8 000S = €7 500n = 5r = 6%
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
项目 A 需投入 €40 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €22 500, €16 000, €9 500。项目 B 需投入 €42 000，回报为 €10 500, €17 500, €25 000。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。
A: −40 000, 22 500, 16 000, 9 500B: −42 000, 10 500, 17 500, 25 000
r* = %
5.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4.5% 的票息，9 年后到期。其到期收益率从 8% 变为 10%。债券价格变化多少 ΔP？
F = €1 000票面利率 = 4.5%n = 9y1 = 8%y2 = 10%
ΔP = €
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 3 年后到期，售价为 €1 055。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 7%n = 3P = €1 055
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
一只贝塔为 0.6 的股票要求回报为 4.9%。无风险利率为 2.5%。CAPM 隐含的预期市场回报 rm 是多少？
β = 0.6re = 4.9%rf = 2.5%
rm = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有4 000 000 股、每股 €25.50 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 7%，税率为 21%。股票的 β 系数为 1.3，无风险利率为 2%，市场回报率为 9%。求 WACC。
β = 1.3rf = 2%rm = 9%rd = 7%T = 21%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
某产品售价每件 €28，单位变动成本 €25。每月固定成本为 €15 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €12 000？
F = €15 000p = €28v = €25利润 = €12 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
某产品售价每件 €20，单位变动成本 €18，每年固定成本 €1 000。预算销量为 630 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。
F = €1 000p = €20v = €18预算 = 630
MS = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 15952 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
年金系数
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0.681)/0.03 = 10.63
现值
PV = 1 500·10.63 = €15 952.43
答案
PV = €15 952.43
2.货币的时间价值
答案: N = 34 次还款
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
将年金公式变形
i = 0.002
(1 + i)−N = 1 − 8 000·0.002/250 = 0.936
用对数求解
N = −ln(0.936)/ln(1.002) = 33.1
向上取整到整次还款
33 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。
N = 34
答案
N = 34 次还款
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = 9303 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
每年现金流的现值
8 000·4.212 = 33 698.91
残值的现值
7 500/1.338 = 5 604.44
NPV
NPV = −30 000 + 33 698.91 + 5 604.44 = €9 303.35
答案
NPV = €9 303.35
4.NPV 与 IRR
答案: r* = 9.9 %
交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。
现金流之差
ΔCF0 = −42 000 − (−40 000) = −2 000
ΔCF1 = 10 500 − 22 500 = −12 000
ΔCF2 = 17 500 − 16 000 = 1 500
ΔCF3 = 25 000 − 9 500 = 15 500
差额的 IRR
NPVΔ(9%) = 222.19
NPVΔ(10%) = −24.04
r* = 9.9%
答案
r* = 9.9%
校核：在 9.9% 时两个 NPV 都是 €877.09。
5.债券定价与收益率
答案: ΔP = −98.11 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
按原收益率计算的价格
C = €45.00, i = 0.08, N = 9
€45.00·(1 − 0.5002)/0.08 + €1 000·0.5002 = €281.11 + €500.25 = €781.36
按新收益率计算的价格
C = €45.00, i = 0.1, N = 9
€45.00·(1 − 0.4241)/0.1 + €1 000·0.4241 = €259.16 + €424.10 = €683.25
变化
ΔP = 683.25 − 781.36 = −€98.11
答案
ΔP = −€98.11
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 4.981 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€1 055 = €70·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
数值求解
P(4%) = €1 083.25, P(5%) = €1 054.46
YTM = 4.981%
答案
YTM = 4.981%
7.CAPM 与 WACC
答案: rm = 6.5 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场风险溢价
rm − rf = (4.9% − 2.5%)/0.6 = 4%
市场回报
rm = 2.5% + 4% = 6.5%
答案
rm = 6.5%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 9.475 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 4 000 000·€25.50 = €102 000 000
D = 40 000·€1 050 = €42 000 000
股权成本（CAPM）
re = 2% + 1.3·7% = 11.1%
权重
V = €144 000 000, E/V = 0.7083, D/V = 0.2917
WACC
WACC = 0.7083·11.1% + 0.2917·7%·(1 − 0.21) = 9.475%
答案
WACC = 9.475%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 9000 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
单位边际贡献
p − v = 28 − 25 = €3
实现目标利润的销量
Q = (F + 利润)/(p − v) = (15 000 + 12 000)/3 = 9 000
答案
Q = 9 000 件
10.盈亏平衡分析
答案: MS = 20.63 %
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
盈亏平衡销量
Q = F/(p − v) = 1 000/2 = 500
安全边际
MS = (630 − 500)/630·100 = 20.63%
答案
MS = 20.63%
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