货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
一处房产预计明年获得 €2 000 的净租金。租金预计每年永久增长 1.5%。要求回报率为每年 7.5%。求该房产今天的价值 PV。
C1 = €2 000g = 1.5%r = 7.5%
PV = €
2.货币的时间价值困难
一笔 €200 000 的抵押贷款在 30 年内按月等额偿还，年利率 7.2%，按月复利。在第 7 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。
P = €200 0007.2% / 12N = 360k = 84
B = €
3.NPV 与 IRR中等
一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€11 000, €15 000, €16 000。资本成本为 10%。求净现值 NPV。
r = 10%CF0 = −45 000CF1 = 11 000CF2 = 15 000CF3 = 16 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €5 000, €4 500, €5 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −10 000CF1 = 5 000CF2 = 4 500CF3 = 5 000
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券在 9 年后到期，每年付息。到期收益率为 8% 时其售价为 €875。求票面利率 c，以百分比表示。
F = €1 000n = 9P = €875YTM = 8%
c = %
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 6% 的债券 8 年后到期，售价为 €885。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 6%n = 8P = €885
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €12 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 8%，税前债务成本为 6%，税率为 21%。求 WACC。
E = €12 000 000D = €6 000 000re = 8%rd = 6%T = 21%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
一家公司股票在当前负债权益比 0.4 下的贝塔为 1.4。公司计划把负债权益比提高到 0.75。税率为 30%，无风险利率为 2%，市场风险溢价为 7%。求变化后的股权资本成本 re。
βL = 1.4D/E1 = 0.4D/E2 = 0.75T = 30%rf = 2%rm − rf = 7%
re = %
9.盈亏平衡分析中等
某产品售价每件 €24，单位变动成本 €12。每月固定成本为 €18 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €12 000？
F = €18 000p = €24v = €12利润 = €12 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
某产品售价每件 €25，单位变动成本 €15，每年固定成本 €15 000。预算销量为 2 400 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。
F = €15 000p = €25v = €15预算 = 2 400
MS = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 33333 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
增长型永续年金
PV = C1/(r − g) = 2 000/(0.075 − 0.015) = 2 000/0.06 = €33 333.33
答案
PV = €33 333.33
2.货币的时间价值
答案: B = 182855 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月供
i = 0.006, N = 360
A = 200 000·0.006/(1 − (1 + 0.006)−360) = €1 357.58
剩余还款的现值
尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。
N − k = 360 − 84 = 276
B = 1358·(1 − (1 + 0.006)−276)/0.006 = €182 854.68
答案
B = €182 854.68
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = −10582 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0.1)1 = 11 000/1.1 = 10 000.00
CF2/(1 + 0.1)2 = 15 000/1.21 = 12 396.69
CF3/(1 + 0.1)3 = 16 000/1.331 = 12 021.04
相加
NPV = €−10 582.27
答案
NPV = €−10 582.27
NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 21.18 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(20%) = 185.19
NPV(25%) = −560.00
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 20 + 5·185.19/(185.19 − (−560.00)) = 21.24%
精确: NPV(21.18%) = 0 → IRR = 21.18%
答案
IRR = 21.18%
5.债券定价与收益率
答案: c = 5.999 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
面值的现值
1000·(1 + 0.08)−9 = €500.25
票息
C = (875 − 500.25)/6.247 = €59.99
票面利率
c = 59.99/1000 = 5.999%
答案
c = 5.999%
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 8.001 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€885 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
数值求解
P(8%) = €885.07, P(9%) = €833.96
YTM = 8.001%
答案
YTM = 8.001%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 6.913 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €18 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333
WACC
WACC = 0.6667·8% + 0.3333·6%·(1 − 0.21) = 6.913%
答案
WACC = 6.913%
8.CAPM 与 WACC
答案: re = 13.68 %
有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 βU 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。
对贝塔去杠杆
βU = 1.4/(1 + 0.7·0.4) = 1.094
按新的 D/E 重新加杠杆
βL = 1.094·(1 + 0.7·0.75) = 1.668
股权成本（CAPM）
re = 2% + 1.668·7% = 13.68%
答案
re = 13.68%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 2500 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
单位边际贡献
p − v = 24 − 12 = €12
实现目标利润的销量
Q = (F + 利润)/(p − v) = (18 000 + 12 000)/12 = 2 500
答案
Q = 2 500 件
10.盈亏平衡分析
答案: MS = 37.5 %
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
盈亏平衡销量
Q = F/(p − v) = 15 000/10 = 1 500
安全边际
MS = (2 400 − 1 500)/2 400·100 = 37.5%
答案
MS = 37.5%
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