货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你在 6 年后需要 €5 000。某账户年利率 2%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。
FV = €5 0002% / 12n = 6
PV = €
2.货币的时间价值困难
一笔 €25 000 的贷款在 6 年内以等额月供偿还。年利率 4.8%，按月复利。求月供 A。
P = €25 0004.8% / 12N = 72
A = €
3.NPV 与 IRR中等
一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€22 000, €14 000, €13 000, €22 000。资本成本为 15%。求净现值 NPV。
r = 15%CF0 = −60 000CF1 = 22 000CF2 = 14 000CF3 = 13 000CF4 = 22 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €4 000, €4 500, €6 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −10 000CF1 = 4 000CF2 = 4 500CF3 = 6 500
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券在 5 年后到期，每年付息。到期收益率为 4% 时其售价为 €1 134。求票面利率 c，以百分比表示。
F = €1 000n = 5P = €1 134YTM = 4%
c = %
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 6% 的债券 3 年后到期，售价为 €950。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 6%n = 3P = €950
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €8 000 000 的股权和价值 €4 000 000 的债务。其股权成本为 8%，税前债务成本为 4%，税率为 25.8%。求 WACC。
E = €8 000 000D = €4 000 000re = 8%rd = 4%T = 25.8%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
一家公司股权的市场价值为 €15 000 000，股权资本成本为 10%。其债务由 5 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 6%，剩余期限 10 年），每张交易价格为 €897。税率为 30%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。
E = €15 000 000re = 10%债券: 5 000 × €897票面利率 = 6%n = 10T = 30%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
一种产品可以用两种方法生产。方法 A 每年固定成本为 €15 000，单位变动成本为 €18。自动化程度更高的方法 B 每年固定成本为 €21 000，单位变动成本为 €15。年产量 Q 为多少时两种方法成本相同？
FA = €15 000vA = €18FB = €21 000vB = €15
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
某产品售价每件 €11，单位变动成本 €6，每年固定成本 €2 500。预算销量为 650 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。
F = €2 500p = €11v = €6预算 = 650
MS = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 4435 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = 0.02/12 = 0.001667
N = 12·6 = 72
现值
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1.127 = €4 435.05
答案
PV = €4 435.05
2.货币的时间价值
答案: A = 400.3 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和还款期数
i = 0.048/12 = 0.004
N = 12·6 = 72
每期还款
N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。
(1 + i)−N = 0.7502
A = 25 000·0.004/(1 − 0.7502) = €400.31
答案
A = €400.31
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = −9157 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0.15)1 = 22 000/1.15 = 19 130.43
CF2/(1 + 0.15)2 = 14 000/1.322 = 10 586.01
CF3/(1 + 0.15)3 = 13 000/1.521 = 8 547.71
CF4/(1 + 0.15)4 = 22 000/1.749 = 12 578.57
相加
NPV = €−9 157.27
答案
NPV = €−9 157.27
NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 21.29 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(20%) = 219.91
NPV(25%) = −592.00
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 20 + 5·219.91/(219.91 − (−592.00)) = 21.35%
精确: NPV(21.29%) = 0 → IRR = 21.29%
答案
IRR = 21.29%
5.债券定价与收益率
答案: c = 7.01 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
面值的现值
1000·(1 + 0.04)−5 = €821.93
票息
C = (1134 − 821.93)/4.452 = €70.10
票面利率
c = 70.1/1000 = 7.01%
答案
c = 7.01%
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 7.938 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€950 = €60·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
数值求解
P(7%) = €973.76, P(8%) = €948.46
YTM = 7.938%
答案
YTM = 7.938%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 6.323 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €12 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333
WACC
WACC = 0.6667·8% + 0.3333·4%·(1 − 0.258) = 6.323%
答案
WACC = 6.323%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 8.907 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
债务成本 (YTM)
897 = 60·(1 − (1 + y)−10)/y + 1000/(1 + y)10
y = 7.501%
市场价值
D = 5 000·€897 = €4 485 000
V = €19 485 000, E/V = 0.7698, D/V = 0.2302
WACC
WACC = 0.7698·10% + 0.2302·7.501%·(1 − 0.3) = 8.907%
答案
WACC = 8.907%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 2000 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
总成本相等
15 000 + 18Q = 21 000 + 15Q
求 Q
Q = (21 000 − 15 000)/(18 − 15) = 2 000
答案
Q = 2 000 件
产量低于此值时方法 A 更便宜；高于此值时自动化的方法 B 更便宜。
10.盈亏平衡分析
答案: MS = 23.08 %
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
盈亏平衡销量
Q = F/(p − v) = 2 500/5 = 500
安全边际
MS = (650 − 500)/650·100 = 23.08%
答案
MS = 23.08%
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