公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 4.8% 投资 €8 000，按季度复利。求 5 年后的投资价值 FV。

PV = €8 0004.8% / 4n = 5

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在每年年初存入 €2 500，共 15 年，第一笔今天存入。账户年利率为 7%。第 15 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €2 500i = 7%n = 15

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€5 000, €7 000, €10 000。资本成本为 7.000000000000001%。求净现值 NPV。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 000CF₂ = 7 000CF₃ = 10 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一笔 €50 000 的投资在 8 年内每年年末回报 €7 000。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €50 000CF = €7 000n = 8

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 3%，每半年付息一次，9 年后到期。到期收益率为每年 7%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 3%YTM = 7%n = 9

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 2% 的票息，4 年后到期。到期收益率为 5.5%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 2%n = 4YTM = 5.5%

D = 年

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的股权价值为 €3 000 000，债务价值为 €4 000 000。其 WACC 为 5.36%，税前债务成本为 4.5%，税率为 25%。求股权资本成本 r_e。

E = €3 000 000D = €4 000 000WACC = 5.36%r_d = 4.5%T = 25%

r_e = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 1。它计划采用 0.25 的负债权益比。税率为 30%，无风险利率为 2%，市场风险溢价为 5.5%。求新资本结构下的股权资本成本 r_e。

β_U = 1D/E = 0.25T = 30%r_f = 2%r_m − r_f = 5.5%

r_e = %

9.盈亏平衡分析中等

一种产品售价 €21，单位变动成本为 €15。固定成本为每月 €30 000，利润按 25% 征税。每月必须售出多少件 Q 才能获得税后 €9 000？

p = €21v = €15F = €30 000T = 25%税后利润 = €9 000

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

一家公司每月以每件 €47 销售 6 250 件，单位变动成本为 €45，固定成本为每月 €10 000。单位变动成本上涨 €1，价格保持不变。现在每月必须销售多少件 Q 才能保持相同的利润？

Q = 6 250p = €47v = €45 → €46F = €10 000

Q = 件

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 10155 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.048/4 = 0.012

N = m·n = 4·5 = 20

终值

FV = 8 000·(1 + 0.012)²⁰ = 8 000·1.269 = €10 155.47

答案

FV = €10 155.47

2.货币的时间价值

答案: FV = 67220 €

普通年金系数

((1 + 0.07)¹⁵ − 1)/0.07 = 25.13

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 2 500·25.13·1.07 = €67 220.13

答案

FV = €67 220.13

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −1050 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 5 000/1.07 = 4 672.90

CF₂/(1 + 0.07)² = 7 000/1.145 = 6 114.07

CF₃/(1 + 0.07)³ = 10 000/1.225 = 8 162.98

相加

NPV = €−1 050.05

答案

NPV = €−1 050.05

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 2.589 %

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻⁸)/i = 50 000/7 000 = 7.143

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 2%: 7.325

i = 3%: 7.02

IRR = 2.589%

答案

IRR = 2.589%

5.债券定价与收益率

答案: P = 736.2 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €15.00, i = 0.035, N = 18

票息的现值

€15.00·(1 − 0.5384)/0.035 = €197.85

面值的现值

€1 000·0.5384 = €538.36

价格

P = €736.21

答案

P = €736.21

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: D = 3.875 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 20/1.055 = 18.96, t·PV = 18.96

t = 2: 20/1.113 = 17.97, t·PV = 35.94

t = 3: 20/1.174 = 17.03, t·PV = 51.10

t = 4: 1020/1.239 = 823.36, t·PV = 3 293.44

久期

P = 877.32

D = 3 399.44/877.32 = 3.875

答案

D = 3.875 年

7.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 8.007 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €7 000 000, E/V = 0.4286, D/V = 0.5714

WACC 中的债务部分

0.5714·4.5%·(1 − 0.25) = 1.929%

股权成本

r_e = (5.36% − 1.929%)/0.4286 = 8.007%

答案

r_e = 8.007%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 8.463 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

有杠杆贝塔

β_L = 1·(1 + 0.7·0.25) = 1.175

股权成本（CAPM）

r_e = 2% + 1.175·5.5% = 8.463%

答案

r_e = 8.463%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 7000 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

所需的税前利润

9 000/(1 − 0.25) = €12 000

所需销量

Q = (30 000 + 12 000)/6 = 7 000

答案

Q = 7 000 件

10.盈亏平衡分析

答案: Q = 12500 件

当前利润

Π = 6 250·(47 − 45) − 10 000 = €2 500

新的单位边际贡献

47 − 46 = €1

保持相同利润所需的件数

Q = (10 000 + 2 500)/1 = 12 500

答案

Q = 12 500 件

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