公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 4 年后需要 €15 000。某账户年利率 3%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €15 0003% / 4n = 4

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €8 000 的贷款在 6 年内以等额月供偿还。年利率 4.8%，按月复利。求月供 A。

P = €8 0004.8% / 12N = 72

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €30 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€7 000, €10 000, €14 000, €7 000。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

r = 12%CF₀ = −30 000CF₁ = 7 000CF₂ = 10 000CF₃ = 14 000CF₄ = 7 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一笔 €80 000 的投资在 7 年内每年年末回报 €13 000。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €80 000CF = €13 000n = 7

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 9 年的债券（面值 €1 000，年票息 4.5%）到期收益率为 5.5% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 6% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4.5%n = 9y₀ = 5.5%y₁ = 6%

HPR = %

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 6% 的债券 6 年后到期，售价为 €1 105。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6%n = 6P = €1 105

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €8 000 000 的普通股、价值 €1 000 000 的优先股和价值 €6 000 000 的债务构成。股权资本成本为 10%，优先股成本为 6%，税前债务成本为 6%。税率为 21%。求 WACC。

E = €8 000 000P_s = €1 000 000D = €6 000 000r_e = 10%r_p = 6%r_d = 6%T = 21%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股权的市场价值为 €10 000 000，股权资本成本为 11%。其债务由 8 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 6%，剩余期限 4 年），每张交易价格为 €1 054。税率为 25%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。

E = €10 000 000r_e = 11%债券: 8 000 × €1 054票面利率 = 6%n = 4T = 25%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

一家公司以每件 €16 的价格销售 3 000 件。单位变动成本为 €6，固定成本为 €20 000。求该销售水平下的经营杠杆系数 DOL。

Q = 3 000p = €16v = €6F = €20 000

DOL =

10.盈亏平衡分析困难

某产品售价每件 €11，单位变动成本 €6，每年固定成本 €2 500。预算销量为 800 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。

F = €2 500p = €11v = €6预算 = 800

MS = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 13310 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.03/4 = 0.0075

N = 4·4 = 16

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1.127 = €13 309.76

答案

PV = €13 309.76

2.货币的时间价值

答案: A = 128.1 €

月利率和还款期数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·6 = 72

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.7502

A = 8 000·0.004/(1 − 0.7502) = €128.10

答案

A = €128.10

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −1365 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 7 000/1.12 = 6 250.00

CF₂/(1 + 0.12)² = 10 000/1.254 = 7 971.94

CF₃/(1 + 0.12)³ = 14 000/1.405 = 9 964.92

CF₄/(1 + 0.12)⁴ = 7 000/1.574 = 4 448.63

相加

NPV = €−1 364.51

答案

NPV = €−1 364.51

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 3.329 %

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻⁷)/i = 80 000/13 000 = 6.154

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 3%: 6.23

i = 4%: 6.002

IRR = 3.329%

答案

IRR = 3.329%

5.债券定价与收益率

答案: HPR = 2.297 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €45.00, i = 0.055, N = 9

€45.00·(1 − 0.6176)/0.055 + €1 000·0.6176 = €312.85 + €617.63 = €930.48

卖出价

C = €45.00, i = 0.06, N = 8

€45.00·(1 − 0.6274)/0.06 + €1 000·0.6274 = €279.44 + €627.41 = €906.85

持有期收益率

HPR = (45 + 906.85 − 930.48)/930.48 = 2.297%

答案

HPR = 2.297%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 3.997 %

收益率方程

€1 105 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

数值求解

P(3%) = €1 162.52, P(4%) = €1 104.84

YTM = 3.997%

答案

YTM = 3.997%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.629 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 8 000 000 + 1 000 000 + 6 000 000 = €15 000 000

E/V = 0.5333, P_s/V = 0.06667, D/V = 0.4

WACC

WACC = 0.5333·10% + 0.06667·6% + 0.4·6%·(1 − 0.21) = 7.629%

答案

WACC = 7.629%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.51 %

债务成本 (YTM)

1054 = 60·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1000/(1 + y)⁴

y = 4.495%

市场价值

D = 8 000·€1 054 = €8 432 000

V = €18 432 000, E/V = 0.5425, D/V = 0.4575

WACC

WACC = 0.5425·11% + 0.4575·4.495%·(1 − 0.25) = 7.51%

答案

WACC = 7.51%

9.盈亏平衡分析

答案: DOL = 3

经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。

边际贡献总额

CM = 3 000·(16 − 6) = €30 000

营业利润

Π = 30 000 − 20 000 = €10 000

DOL

DOL = 30 000/10 000 = 3

答案

DOL = 3

10.盈亏平衡分析

答案: MS = 37.5 %

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

盈亏平衡销量

Q = F/(p − v) = 2 500/5 = 500

安全边际

MS = (800 − 500)/800·100 = 37.5%

答案

MS = 37.5%

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