货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你以名义年利率 3% 投资 €12 000，按月复利。求 4 年后的投资价值 FV。
PV = €12 0003% / 12n = 4
FV = €
2.货币的时间价值困难
你在每年年初存入 €5 000，共 23 年，第一笔今天存入。账户年利率为 5%。第 23 年年末账户里有多少钱？求 FV。
A = €5 000i = 5%n = 23
FV = €
3.NPV 与 IRR中等
一个项目今天需投入 €20 000，在 6 年内每年年末回报 €7 000。资本成本为 6%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。
r = 6%CF0 = −20 000CF1 = 7 000CF2 = 7 000CF3 = 7 000CF4 = 7 000CF5 = 7 000CF6 = 7 000
DPB = 年
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €26 500, €32 000, €37 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −50 000CF1 = 26 500CF2 = 32 000CF3 = 37 000
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券每年支付 6% 的票息，9 年后到期。其到期收益率从 3.5% 变为 1.5%。债券价格变化多少 ΔP？
F = €1 000票面利率 = 6%n = 9y1 = 3.5%y2 = 1.5%
ΔP = €
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 4 年后到期，售价为 €920。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 7%n = 4P = €920
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €4 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 11%，税前债务成本为 4%，税率为 20%。求 WACC。
E = €4 000 000D = €6 000 000re = 11%rd = 4%T = 20%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
一家公司股权的市场价值为 €5 000 000，股权资本成本为 9%。其债务由 5 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 4%，剩余期限 6 年），每张交易价格为 €1 083。税率为 25.8%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。
E = €5 000 000re = 9%债券: 5 000 × €1 083票面利率 = 4%n = 6T = 25.8%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
一家公司以每件 €32 的价格销售 12 000 件。单位变动成本为 €12，固定成本为 €80 000。求该销售水平下的经营杠杆系数 DOL。
Q = 12 000p = €32v = €12F = €80 000
DOL =
10.盈亏平衡分析困难
某产品售价每件 €32，单位变动成本 €20，每年固定成本 €6 000。预算销量为 630 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。
F = €6 000p = €32v = €20预算 = 630
MS = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: FV = 13528 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = r/m = 0.03/12 = 0.0025
N = m·n = 12·4 = 48
终值
FV = 12 000·(1 + 0.0025)48 = 12 000·1.127 = €13 527.94
答案
FV = €13 527.94
2.货币的时间价值
答案: FV = 217510 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
普通年金系数
((1 + 0.05)23 − 1)/0.05 = 41.43
先付年金
每笔存款都多投资一年。
FV = 5 000·41.43·1.05 = €217 509.99
答案
FV = €217 509.99
3.NPV 与 IRR
答案: DPB = 3.232 年
回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。
折现现金流和累计现金流
年份 1: 7 000/1.06 = 6 603.77 → Σ = 6 603.77
年份 2: 7 000/1.124 = 6 229.98 → Σ = 12 833.75
年份 3: 7 000/1.191 = 5 877.33 → Σ = 18 711.08
年份 4: 7 000/1.262 = 5 544.66 → Σ = 24 255.74
最后一年的分数
DPB = 3 + 1 288.92/5 544.66 = 3.232
答案
DPB = 3.232 年
折现回收期总是长于简单回收期（2.857 年）。
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 38.12 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(35%) = 2 226.29
NPV(40%) = −1 260.93
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 35 + 5·2 226.29/(2 226.29 − (−1 260.93)) = 38.19%
精确: NPV(38.12%) = 0 → IRR = 38.12%
答案
IRR = 38.12%
5.债券定价与收益率
答案: ΔP = 186 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
按原收益率计算的价格
C = €60.00, i = 0.035, N = 9
€60.00·(1 − 0.7337)/0.035 + €1 000·0.7337 = €456.46 + €733.73 = €1 190.19
按新收益率计算的价格
C = €60.00, i = 0.015, N = 9
€60.00·(1 − 0.8746)/0.015 + €1 000·0.8746 = €501.63 + €874.59 = €1 376.22
变化
ΔP = 1 376.22 − 1 190.19 = €186.03
答案
ΔP = €186.03
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 9.496 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€920 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
数值求解
P(9%) = €935.21, P(10%) = €904.90
YTM = 9.496%
答案
YTM = 9.496%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 6.32 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €10 000 000, E/V = 0.4, D/V = 0.6
WACC
WACC = 0.4·11% + 0.6·4%·(1 − 0.2) = 6.32%
答案
WACC = 6.32%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 5.283 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
债务成本 (YTM)
1083 = 40·(1 − (1 + y)−6)/y + 1000/(1 + y)6
y = 2.493%
市场价值
D = 5 000·€1 083 = €5 415 000
V = €10 415 000, E/V = 0.4801, D/V = 0.5199
WACC
WACC = 0.4801·9% + 0.5199·2.493%·(1 − 0.258) = 5.283%
答案
WACC = 5.283%
9.盈亏平衡分析
答案: DOL = 1.5
经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。
边际贡献总额
CM = 12 000·(32 − 12) = €240 000
营业利润
Π = 240 000 − 80 000 = €160 000
DOL
DOL = 240 000/160 000 = 1.5
答案
DOL = 1.5
10.盈亏平衡分析
答案: MS = 20.63 %
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
盈亏平衡销量
Q = F/(p − v) = 6 000/12 = 500
安全边际
MS = (630 − 500)/630·100 = 20.63%
答案
MS = 20.63%
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