货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
一处房产预计明年获得 €10 000 的净租金。租金预计每年永久增长 1%。要求回报率为每年 3%。求该房产今天的价值 PV。
C1 = €10 000g = 1%r = 3%
PV = €
2.货币的时间价值困难
一笔 €20 000 的贷款在 6 年内以等额月供偿还。年利率 2.4%，按月复利。求月供 A。
P = €20 0002.4% / 12N = 72
A = €
3.NPV 与 IRR中等
一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€27 000, €27 000, €21 000, €23 000。资本成本为 5%。求净现值 NPV。
r = 5%CF0 = −60 000CF1 = 27 000CF2 = 27 000CF3 = 21 000CF4 = 23 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €27 000, €18 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −40 000CF1 = 27 000CF2 = 18 500
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 7%，每半年付息一次，3 年后到期。到期收益率为每年 9%。 求该债券的价格 P。
F = €1 000票面利率 = 7%YTM = 9%n = 3
P = €
6.债券定价与收益率困难
一只债券的交易价格为 €1 055，到期收益率为 4%（按年复利），麦考利久期为 6 年。如果收益率上升 25 个基点，用修正久期估计新价格 P。
P0 = €1 055y = 4%D = 6Δy = +25 bp
P = €
7.CAPM 与 WACC中等
一家公司的股权价值为 €3 000 000，债务价值为 €4 000 000。其 WACC 为 7.86%，税前债务成本为 5%，税率为 20%。求股权资本成本 re。
E = €3 000 000D = €4 000 000WACC = 7.86%rd = 5%T = 20%
re = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有2 000 000 股、每股 €52.50 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 3.5%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 0.8，无风险利率为 3%，市场回报率为 9%。求 WACC。
β = 0.8rf = 3%rm = 9%rd = 3.5%T = 25.8%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
某产品售价每件 €35，单位变动成本 €15。每月固定成本为 €24 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €20 000？
F = €24 000p = €35v = €15利润 = €20 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
一家公司每月以每件 €28 销售 630 件，单位变动成本为 €20，固定成本为每月 €4 000。单位变动成本上涨 €1，价格保持不变。现在每月必须销售多少件 Q 才能保持相同的利润？
Q = 630p = €28v = €20 → €21F = €4 000
Q = 件
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 500000 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
增长型永续年金
PV = C1/(r − g) = 10 000/(0.03 − 0.01) = 10 000/0.02 = €500 000.00
答案
PV = €500 000.00
2.货币的时间价值
答案: A = 298.5 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和还款期数
i = 0.024/12 = 0.002
N = 12·6 = 72
每期还款
N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。
(1 + i)−N = 0.866
A = 20 000·0.002/(1 − 0.866) = €298.53
答案
A = €298.53
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = 27267 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0.05)1 = 27 000/1.05 = 25 714.29
CF2/(1 + 0.05)2 = 27 000/1.103 = 24 489.80
CF3/(1 + 0.05)3 = 21 000/1.158 = 18 140.59
CF4/(1 + 0.05)4 = 23 000/1.216 = 18 922.16
相加
NPV = €27 266.83
答案
NPV = €27 266.83
NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 9.671 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(5%) = 2 494.33
NPV(10%) = −165.29
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 5 + 5·2 494.33/(2 494.33 − (−165.29)) = 9.689%
精确: NPV(9.671%) = 0 → IRR = 9.671%
答案
IRR = 9.671%
5.债券定价与收益率
答案: P = 948.4 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €35.00, i = 0.045, N = 6
票息的现值
€35.00·(1 − 0.7679)/0.045 = €180.53
面值的现值
€1 000·0.7679 = €767.90
价格
P = €948.42
答案
P = €948.42
收益率高于票面利率，所以债券折价出售。
6.债券定价与收益率
答案: P = 1040 €
久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
修正久期
Dmod = 6/1.04 = 5.769
估计的价格变化
%ΔP ≈ −5.769·(0.0025) = −1.442%
P ≈ 1055·(1 − 0.01442) = €1 039.78
答案
P = €1 039.78
久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。
7.CAPM 与 WACC
答案: re = 13.01 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €7 000 000, E/V = 0.4286, D/V = 0.5714
WACC 中的债务部分
0.5714·5%·(1 − 0.2) = 2.286%
股权成本
re = (7.86% − 2.286%)/0.4286 = 13.01%
答案
re = 13.01%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 6.344 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 2 000 000·€52.50 = €105 000 000
D = 40 000·€1 020 = €40 800 000
股权成本（CAPM）
re = 3% + 0.8·6% = 7.8%
权重
V = €145 800 000, E/V = 0.7202, D/V = 0.2798
WACC
WACC = 0.7202·7.8% + 0.2798·3.5%·(1 − 0.258) = 6.344%
答案
WACC = 6.344%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 2200 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
单位边际贡献
p − v = 35 − 15 = €20
实现目标利润的销量
Q = (F + 利润)/(p − v) = (24 000 + 20 000)/20 = 2 200
答案
Q = 2 200 件
10.盈亏平衡分析
答案: Q = 720 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
当前利润
Π = 630·(28 − 20) − 4 000 = €1 040
新的单位边际贡献
28 − 21 = €7
保持相同利润所需的件数
Q = (4 000 + 1 040)/7 = 720
答案
Q = 720 件
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