公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值
FV = PV·(1 + i)n
现值
PV = FV/(1 + i)n
每年多个计息期
i = r/m, N = m·n
年金现值
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
年金终值
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

方法

  1. 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
  2. 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
  3. 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
  4. 检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
等额现金流
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
内部收益率
使 NPV = 0 的 r
决策
NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

  1. 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
  2. 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
  3. 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
  4. 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
半年付息
C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率
C/P
价格与收益率
收益率上升 → 价格下降

方法

  1. 求每期票息和每期收益率。
  2. 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
  3. 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
  4. 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
企业价值
V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献
CM = p − v
盈亏平衡销量
QBE = FC/(p − v)
目标利润
Q = (FC + profit)/(p − v)
利润
π = (p − v)·Q − FC
安全边际
(Q − QBE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等
年012345€10 000FV = ?

你以每年 6% 的利率连续复利投资 €10 000。求 5 年后的价值 FV。

PV = €10 000r = 6%t = 5
FV = €
2.货币的时间价值困难
月0123…240€150 000AAAA3% / 12, I = ?

一笔 €150 000 的贷款在 20 年内按月等额偿还，年利率 3%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？

P = €150 0003% / 12N = 240
I = €
3.NPV 与 IRR中等
年01234−60 00027 00018 00024 00029 000

一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€27 000, €18 000, €24 000, €29 000。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

r = 9%CF0 = −60 000CF1 = 27 000CF2 = 18 000CF3 = 24 000CF4 = 29 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
年0123456−25 0005 5005 5005 5005 5005 5005 500

一笔 €25 000 的投资在 6 年内每年年末回报 €5 500。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C0 = €25 000CF = €5 500n = 6
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
年0123…8P€80€80€80 + €1 000

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 8% 的票息，8 年后到期。其到期收益率从 5.5% 变为 4%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 8%n = 8y1 = 5.5%y2 = 4%
ΔP = €
6.债券定价与收益率困难
年01234567€950€80€80 + €1 000

一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 7 年后到期，售价为 €950。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 7P = €950
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
WACC = ?所有者权益€3 000 000re​ = 11%债务€5 000 000rd​ = 4%T = 28%

某公司有价值 €3 000 000 的股权和价值 €5 000 000 的债务。其股权成本为 11%，税前债务成本为 4%，税率为 28%。求 WACC。

E = €3 000 000D = €5 000 000re = 11%rd = 4%T = 28%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
WACC = ?所有者权益5 000 000 × €23.00β = 1.1rf​ = 3.5%, rm​ = 10.5%债务5 000 × €960rd​ = 5%T = 20%

某公司有5 000 000 股、每股 €23.00 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €960 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 20%。股票的 β 系数为 1.1，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 10.5%。求 WACC。

β = 1.1rf = 3.5%rm = 10.5%rd = 5%T = 20%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
Q€ABQ = ?

一种产品可以用两种方法生产。方法 A 每年固定成本为 €15 000，单位变动成本为 €20。自动化程度更高的方法 B 每年固定成本为 €18 000，单位变动成本为 €17。年产量 Q 为多少时两种方法成本相同？

FA = €15 000vA = €20FB = €18 000vB = €17
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
Q€收入总成本固定成本BE

某产品售价每件 €40，单位变动成本 €30，每年固定成本 €20 000。预算销量为 2 300 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。

F = €20 000p = €40v = €30预算 = 2 300
MS = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 13499 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.06·5 = 0.3
e0.3 = 1.35

终值

FV = 10 000·1.35 = €13 498.59

答案

FV = €13 498.59
2.货币的时间价值

答案: I = 49655 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

月供

i = 0.0025, N = 240
A = 150 000·0.0025/(1 − (1 + 0.0025)−240) = €831.90

利息总额

I = N·A − P = 240·831.9 − 150 000 = €49 655.14

答案

I = €49 655.14
3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 18998 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0.09)1 = 27 000/1.09 = 24 770.64
CF2/(1 + 0.09)2 = 18 000/1.188 = 15 150.24
CF3/(1 + 0.09)3 = 24 000/1.295 = 18 532.40
CF4/(1 + 0.09)4 = 29 000/1.412 = 20 544.33

相加

NPV = €18 997.62

答案

NPV = €18 997.62

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 8.559 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

所需的年金系数

(1 − (1 + i)−6)/i = 25 000/5 500 = 4.545

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 8%: 4.623
i = 9%: 4.486
IRR = 8.559%

答案

IRR = 8.559%
5.债券定价与收益率

答案: ΔP = 110.9 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €80.00, i = 0.055, N = 8
€80.00·(1 − 0.6516)/0.055 + €1 000·0.6516 = €506.77 + €651.60 = €1 158.36

按新收益率计算的价格

C = €80.00, i = 0.04, N = 8
€80.00·(1 − 0.7307)/0.04 + €1 000·0.7307 = €538.62 + €730.69 = €1 269.31

变化

ΔP = 1 269.31 − 1 158.36 = €110.95

答案

ΔP = €110.95
6.债券定价与收益率

答案: YTM = 8.993 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

收益率方程

€950 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

数值求解

P(8%) = €1 000.00, P(9%) = €949.67
YTM = 8.993%

答案

YTM = 8.993%
7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.925 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €8 000 000, E/V = 0.375, D/V = 0.625

WACC

WACC = 0.375·11% + 0.625·4%·(1 − 0.28) = 5.925%

答案

WACC = 5.925%
8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.91 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场价值

E = 5 000 000·€23.00 = €115 000 000
D = 5 000·€960 = €4 800 000

股权成本（CAPM）

re = 3.5% + 1.1·7% = 11.2%

权重

V = €119 800 000, E/V = 0.9599, D/V = 0.04007

WACC

WACC = 0.9599·11.2% + 0.04007·5%·(1 − 0.2) = 10.91%

答案

WACC = 10.91%
9.盈亏平衡分析

答案: Q = 1000 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

总成本相等

15 000 + 20Q = 18 000 + 17Q

求 Q

Q = (18 000 − 15 000)/(20 − 17) = 1 000

答案

Q = 1 000 件

产量低于此值时方法 A 更便宜；高于此值时自动化的方法 B 更便宜。

10.盈亏平衡分析

答案: MS = 13.04 %

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

盈亏平衡销量

Q = F/(p − v) = 20 000/10 = 2 000

安全边际

MS = (2 300 − 2 000)/2 300·100 = 13.04%

答案

MS = 13.04%

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