货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你在 3 年后需要 €40 000。某账户年利率 2%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。
FV = €40 0002% / 12n = 3
PV = €
2.货币的时间价值困难
一笔 €250 000 的抵押贷款在 30 年内按月等额偿还，年利率 4.8%，按月复利。在第 11 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。
P = €250 0004.8% / 12N = 360k = 132
B = €
3.NPV 与 IRR中等
一台机器今天花费 €100 000。它在 4 年内每年年末产生 €29 000，之后可以以 €20 000 出售。资本成本为 8%。求净现值 NPV。
C0 = €100 000CF = €29 000S = €20 000n = 4r = 8%
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €32 500, €24 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −50 000CF1 = 32 500CF2 = 24 000
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券每年支付 6% 的票息，15 年后到期。其到期收益率从 2.5% 变为 3.5%。债券价格变化多少 ΔP？
F = €1 000票面利率 = 6%n = 15y1 = 2.5%y2 = 3.5%
ΔP = €
6.债券定价与收益率困难
一只债券的交易价格为 €1 030，到期收益率为 5%（按年复利），麦考利久期为 6.9 年。如果收益率下降 150 个基点，用修正久期估计新价格 P。
P0 = €1 030y = 5%D = 6.9Δy = −150 bp
P = €
7.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €4 000 000 的股权和价值 €3 000 000 的债务。其股权成本为 13%，税前债务成本为 3%，税率为 30%。求 WACC。
E = €4 000 000D = €3 000 000re = 13%rd = 3%T = 30%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有1 000 000 股、每股 €40.00 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 7%，税率为 28%。股票的 β 系数为 1.5，无风险利率为 4%，市场回报率为 10%。求 WACC。
β = 1.5rf = 4%rm = 10%rd = 7%T = 28%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
一种产品可以用两种方法生产。方法 A 每年固定成本为 €20 000，单位变动成本为 €10。自动化程度更高的方法 B 每年固定成本为 €24 500，单位变动成本为 €7。年产量 Q 为多少时两种方法成本相同？
FA = €20 000vA = €10FB = €24 500vB = €7
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
一家公司每月以每件 €24 销售 6 000 件，单位变动成本为 €18，固定成本为每月 €24 000。单位变动成本上涨 €3，价格保持不变。现在每月必须销售多少件 Q 才能保持相同的利润？
Q = 6 000p = €24v = €18 → €21F = €24 000
Q = 件
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 37672 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = 0.02/12 = 0.001667
N = 12·3 = 36
现值
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1.062 = €37 672.46
答案
PV = €37 672.46
2.货币的时间价值
答案: B = 195946 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月供
i = 0.004, N = 360
A = 250 000·0.004/(1 − (1 + 0.004)−360) = €1 311.66
剩余还款的现值
尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。
N − k = 360 − 132 = 228
B = 1312·(1 − (1 + 0.004)−228)/0.004 = €195 945.64
答案
B = €195 945.64
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = 10752 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
每年现金流的现值
29 000·3.312 = 96 051.68
残值的现值
20 000/1.36 = 14 700.60
NPV
NPV = −100 000 + 96 051.68 + 14 700.60 = €10 752.28
答案
NPV = €10 752.28
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 9.026 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(5%) = 2 721.09
NPV(10%) = −619.83
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 5 + 5·2 721.09/(2 721.09 − (−619.83)) = 9.072%
精确: NPV(9.026%) = 0 → IRR = 9.026%
答案
IRR = 9.026%
5.债券定价与收益率
答案: ΔP = −145.4 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
按原收益率计算的价格
C = €60.00, i = 0.025, N = 15
€60.00·(1 − 0.6905)/0.025 + €1 000·0.6905 = €742.88 + €690.47 = €1 433.35
按新收益率计算的价格
C = €60.00, i = 0.035, N = 15
€60.00·(1 − 0.5969)/0.035 + €1 000·0.5969 = €691.04 + €596.89 = €1 287.94
变化
ΔP = 1 287.94 − 1 433.35 = −€145.41
答案
ΔP = −€145.41
6.债券定价与收益率
答案: P = 1132 €
久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
修正久期
Dmod = 6.9/1.05 = 6.571
估计的价格变化
%ΔP ≈ −6.571·(−0.015) = 9.857%
P ≈ 1030·(1 + 0.09857) = €1 131.53
答案
P = €1 131.53
久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 8.329 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €7 000 000, E/V = 0.5714, D/V = 0.4286
WACC
WACC = 0.5714·13% + 0.4286·3%·(1 − 0.3) = 8.329%
答案
WACC = 8.329%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 9.06 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 1 000 000·€40.00 = €40 000 000
D = 40 000·€980 = €39 200 000
股权成本（CAPM）
re = 4% + 1.5·6% = 13%
权重
V = €79 200 000, E/V = 0.5051, D/V = 0.4949
WACC
WACC = 0.5051·13% + 0.4949·7%·(1 − 0.28) = 9.06%
答案
WACC = 9.06%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 1500 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
总成本相等
20 000 + 10Q = 24 500 + 7Q
求 Q
Q = (24 500 − 20 000)/(10 − 7) = 1 500
答案
Q = 1 500 件
产量低于此值时方法 A 更便宜；高于此值时自动化的方法 B 更便宜。
10.盈亏平衡分析
答案: Q = 12000 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
当前利润
Π = 6 000·(24 − 18) − 24 000 = €12 000
新的单位边际贡献
24 − 21 = €3
保持相同利润所需的件数
Q = (24 000 + 12 000)/3 = 12 000
答案
Q = 12 000 件
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