货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
一张信用卡的名义年利率为 25%，每半年复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。
r = 25%m = 2
EAR = %
2.货币的时间价值困难
一笔 €200 000 的抵押贷款在 30 年内按月等额偿还，年利率 2.4%，按月复利。在第 23 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。
P = €200 0002.4% / 12N = 360k = 276
B = €
3.NPV 与 IRR中等
一台机器今天花费 €80 000，使用 4 年，每年运行费用为 €4 000（每年年末支付）。资本成本为 8%。求其等值年成本 EAC。
C0 = €80 000M = €4 000n = 4r = 8%
EAC = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €10 000, €10 500, €9 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −20 000CF1 = 10 000CF2 = 10 500CF3 = 9 000
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
你在一只剩余期限为 6 年的债券（面值 €1 000，年票息 4%）到期收益率为 9% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 10% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 4%n = 6y0 = 9%y1 = 10%
HPR = %
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 7 年后到期，售价为 €945。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 5%n = 7P = €945
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €3 000 000 的股权和价值 €3 000 000 的债务。其股权成本为 12%，税前债务成本为 5%，税率为 25%。求 WACC。
E = €3 000 000D = €3 000 000re = 12%rd = 5%T = 25%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
一家公司股权的市场价值为 €10 000 000，股权资本成本为 11%。其债务由 8 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 4%，剩余期限 10 年），每张交易价格为 €1 085。税率为 25%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。
E = €10 000 000re = 11%债券: 8 000 × €1 085票面利率 = 4%n = 10T = 25%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
一家公司以每件 €16 的价格销售 2 000 件。单位变动成本为 €8，固定成本为 €8 000。求该销售水平下的经营杠杆系数 DOL。
Q = 2 000p = €16v = €8F = €8 000
DOL =
10.盈亏平衡分析困难
一家公司每月以每件 €21 销售 1 000 件，单位变动成本为 €15，固定成本为每月 €4 800。单位变动成本上涨 €2，价格保持不变。现在每月必须销售多少件 Q 才能保持相同的利润？
Q = 1 000p = €21v = €15 → €17F = €4 800
Q = 件
3溶液
1.货币的时间价值
答案: EAR = 26.56 %
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
每期利率
r/m = 0.25/2 = 0.125
复利一年
EAR = (1 + 0.125)2 − 1 = 1.266 − 1 = 26.56%
答案
EAR = 26.56%
当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。
2.货币的时间价值
答案: B = 60248 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月供
i = 0.002, N = 360
A = 200 000·0.002/(1 − (1 + 0.002)−360) = €779.88
剩余还款的现值
尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。
N − k = 360 − 276 = 84
B = 779.9·(1 − (1 + 0.002)−84)/0.002 = €60 247.63
答案
B = €60 247.63
3.NPV 与 IRR
答案: EAC = 28154 €
等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。
年金系数
(1 − 1.08−4)/0.08 = 3.312
年化购置价格
80 000/3.312 = 24 153.66
EAC
EAC = 24 153.66 + 4 000 = €28 153.66
答案
EAC = €28 153.66
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 22.69 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(20%) = 833.33
NPV(25%) = −672.00
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 20 + 5·833.33/(833.33 − (−672.00)) = 22.77%
精确: NPV(22.69%) = 0 → IRR = 22.69%
答案
IRR = 22.69%
5.债券定价与收益率
答案: HPR = 4.75 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
买入价
C = €40.00, i = 0.09, N = 6
€40.00·(1 − 0.5963)/0.09 + €1 000·0.5963 = €179.44 + €596.27 = €775.70
卖出价
C = €40.00, i = 0.1, N = 5
€40.00·(1 − 0.6209)/0.1 + €1 000·0.6209 = €151.63 + €620.92 = €772.55
持有期收益率
HPR = (40 + 772.55 − 775.70)/775.70 = 4.75%
答案
HPR = 4.75%
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 5.985 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€945 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
数值求解
P(5%) = €1 000.00, P(6%) = €944.18
YTM = 5.985%
答案
YTM = 5.985%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 7.875 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €6 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5
WACC
WACC = 0.5·12% + 0.5·5%·(1 − 0.25) = 7.875%
答案
WACC = 7.875%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 6.935 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
债务成本 (YTM)
1085 = 40·(1 − (1 + y)−10)/y + 1000/(1 + y)10
y = 3.003%
市场价值
D = 8 000·€1 085 = €8 680 000
V = €18 680 000, E/V = 0.5353, D/V = 0.4647
WACC
WACC = 0.5353·11% + 0.4647·3.003%·(1 − 0.25) = 6.935%
答案
WACC = 6.935%
9.盈亏平衡分析
答案: DOL = 2
经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。
边际贡献总额
CM = 2 000·(16 − 8) = €16 000
营业利润
Π = 16 000 − 8 000 = €8 000
DOL
DOL = 16 000/8 000 = 2
答案
DOL = 2
10.盈亏平衡分析
答案: Q = 1500 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
当前利润
Π = 1 000·(21 − 15) − 4 800 = €1 200
新的单位边际贡献
21 − 17 = €4
保持相同利润所需的件数
Q = (4 800 + 1 200)/4 = 1 500
答案
Q = 1 500 件
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