公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 6 年后需要 €20 000。某账户年利率 2%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €20 0002% / 12n = 6

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 18 年内每月月末存入 €50。账户年利率 4.2%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €504.2% / 12N = 216

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€21 000, €13 000, €24 000。资本成本为 7.000000000000001%。求净现值 NPV。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −60 000CF₁ = 21 000CF₂ = 13 000CF₃ = 24 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €4 000, €4 500, €7 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −10 000CF₁ = 4 000CF₂ = 4 500CF₃ = 7 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 3%，每半年付息一次，8 年后到期。到期收益率为每年 3.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 3%YTM = 3.5%n = 8

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €1 020，到期收益率为 5%（按年复利），麦考利久期为 7.9 年。如果收益率下降 150 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €1 020y = 5%D = 7.9Δy = −150 bp

P = €

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €2 000 000 的股权和价值 €5 000 000 的债务。其股权成本为 9%，税前债务成本为 7%，税率为 25.8%。求 WACC。

E = €2 000 000D = €5 000 000r_e = 9%r_d = 7%T = 25.8%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司有 2 000 000 股股票，股价为 €28.50；其股权账面价值为 €22 800 000。公司刚支付了每股 €2.00 的股利，股利每年增长 4%。其债务市场价值为 €45 600 000，税前成本为 4%。税率为 25.8%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。

N = 2 000 000P₀ = €28.50股权账面价值 = €22 800 000D₀ = €2.00g = 4%D = €45 600 000r_d = 4%T = 25.8%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

一家公司以每件 €24 的价格销售 3 000 件。单位变动成本为 €20，固定成本为 €4 800。求该销售水平下的经营杠杆系数 DOL。

Q = 3 000p = €24v = €20F = €4 800

DOL =

10.盈亏平衡分析困难

某产品售价每件 €40，单位变动成本 €20，每年固定成本 €80 000。预算销量为 4 600 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。

F = €80 000p = €40v = €20预算 = 4 600

MS = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 17740 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.02/12 = 0.001667

N = 12·6 = 72

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1.127 = €17 740.18

答案

PV = €17 740.18

2.货币的时间价值

答案: FV = 16099 €

月利率和存款次数

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·18 = 216

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(2.127 − 1)/0.0035 = €16 099.01

答案

FV = €16 099.01

你自己存入了 €10 800；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −9428 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 21 000/1.07 = 19 626.17

CF₂/(1 + 0.07)² = 13 000/1.145 = 11 354.70

CF₃/(1 + 0.07)³ = 24 000/1.225 = 19 591.15

相加

NPV = €−9 427.98

答案

NPV = €−9 427.98

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 22.93 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(20%) = 509.26

NPV(25%) = −336.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 20 + 5·509.26/(509.26 − (−336.00)) = 23.01%

精确: NPV(22.93%) = 0 → IRR = 22.93%

答案

IRR = 22.93%

5.债券定价与收益率

答案: P = 965.4 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €15.00, i = 0.0175, N = 16

票息的现值

€15.00·(1 − 0.7576)/0.0175 = €207.76

面值的现值

€1 000·0.7576 = €757.62

价格

P = €965.37

答案

P = €965.37

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: P = 1135 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 7.9/1.05 = 7.524

估计的价格变化

%ΔP ≈ −7.524·(−0.015) = 11.29%

P ≈ 1020·(1 + 0.1129) = €1 135.11

答案

P = €1 135.11

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.281 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €7 000 000, E/V = 0.2857, D/V = 0.7143

WACC

WACC = 0.2857·9% + 0.7143·7%·(1 − 0.258) = 6.281%

答案

WACC = 6.281%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.596 %

股权成本

D₁ = 2·1.04 = €2.08

r_e = 2.08/28.5 + 0.04 = 11.3%

市场价值

E = 2 000 000·€28.50 = €57 000 000

V = €102 600 000, E/V = 0.5556, D/V = 0.4444

WACC

WACC = 0.5556·11.3% + 0.4444·4%·(1 − 0.258) = 7.596%

答案

WACC = 7.596%

9.盈亏平衡分析

答案: DOL = 1.667

经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。

边际贡献总额

CM = 3 000·(24 − 20) = €12 000

营业利润

Π = 12 000 − 4 800 = €7 200

DOL

DOL = 12 000/7 200 = 1.667

答案

DOL = 1.667

10.盈亏平衡分析

答案: MS = 13.04 %

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

盈亏平衡销量

Q = F/(p − v) = 80 000/20 = 4 000

安全边际

MS = (4 600 − 4 000)/4 600·100 = 13.04%

答案

MS = 13.04%

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