货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你以每年 4% 的利率连续复利投资 €5 000。求 11 年后的价值 FV。
PV = €5 000r = 4%t = 11
FV = €
2.货币的时间价值困难
你在 25 年内每月月末存入 €200。账户年利率 2.4%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。
A = €2002.4% / 12N = 300
FV = €
3.NPV 与 IRR中等
一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€6 000, €9 000, €9 000。资本成本为 9%。求净现值 NPV。
r = 9%CF0 = −20 000CF1 = 6 000CF2 = 9 000CF3 = 9 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €22 000, €16 500, €17 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −40 000CF1 = 22 000CF2 = 16 500CF3 = 17 500
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 6%，每半年付息一次，8 年后到期。到期收益率为每年 8%。 求该债券的价格 P。
F = €1 000票面利率 = 6%YTM = 8%n = 8
P = €
6.债券定价与收益率困难
一只剩余期限为 20 年的债券（面值 €1 000，年票息 8%）售价 €1 165。发行人可在 5 年后以 €1 080 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 8%P = €1 165赎回价格 = €1 080赎回时间 5 年
YTC = %
7.CAPM 与 WACC中等
一家公司的融资由价值 €6 000 000 的普通股、价值 €2 000 000 的优先股和价值 €6 000 000 的债务构成。股权资本成本为 13%，优先股成本为 6.5%，税前债务成本为 3%。税率为 25%。求 WACC。
E = €6 000 000Ps = €2 000 000D = €6 000 000re = 13%rp = 6.5%rd = 3%T = 25%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有5 000 000 股、每股 €41.50 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €960 的债券。税前债务成本为 4%，税率为 30%。股票的 β 系数为 1.1，无风险利率为 1%，市场回报率为 7.5%。求 WACC。
β = 1.1rf = 1%rm = 7.5%rd = 4%T = 30%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
某产品售价每件 €27，单位变动成本 €25。每月固定成本为 €10 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €6 000？
F = €10 000p = €27v = €25利润 = €6 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
某产品售价每件 €40，单位变动成本 €30，每年固定成本 €12 000。预算销量为 1 500 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。
F = €12 000p = €40v = €30预算 = 1 500
MS = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: FV = 7764 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
指数
r·t = 0.04·11 = 0.44
e0.44 = 1.553
终值
FV = 5 000·1.553 = €7 763.54
答案
FV = €7 763.54
2.货币的时间价值
答案: FV = 82103 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和存款次数
i = 0.024/12 = 0.002
N = 12·25 = 300
存款的终值
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 200·(1.821 − 1)/0.002 = €82 102.73
答案
FV = €82 102.73
你自己存入了 €60 000；其余是利息。
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = 29.36 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.09)1 = 6 000/1.09 = 5 504.59
CF2/(1 + 0.09)2 = 9 000/1.188 = 7 575.12
CF3/(1 + 0.09)3 = 9 000/1.295 = 6 949.65
相加
NPV = €29.36
答案
NPV = €29.36
NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 19.86 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(15%) = 3 113.34
NPV(20%) = −81.02
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 15 + 5·3 113.34/(3 113.34 − (−81.02)) = 19.87%
精确: NPV(19.86%) = 0 → IRR = 19.86%
答案
IRR = 19.86%
5.债券定价与收益率
答案: P = 883.5 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €30.00, i = 0.04, N = 16
票息的现值
€30.00·(1 − 0.5339)/0.04 = €349.57
面值的现值
€1 000·0.5339 = €533.91
价格
P = €883.48
答案
P = €883.48
收益率高于票面利率，所以债券折价出售。
6.债券定价与收益率
答案: YTC = 5.561 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
1165 = 80·(1 − (1 + y)−5)/y + 1080/(1 + y)5
数值求解
y = 5%: €1 192.57
y = 6%: €1 144.03
YTC = 5.561%
答案
YTC = 5.561%
到期收益率为 6.502%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 7.464 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = 6 000 000 + 2 000 000 + 6 000 000 = €14 000 000
E/V = 0.4286, Ps/V = 0.1429, D/V = 0.4286
WACC
WACC = 0.4286·13% + 0.1429·6.5% + 0.4286·3%·(1 − 0.25) = 7.464%
答案
WACC = 7.464%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 7.697 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 5 000 000·€41.50 = €207 500 000
D = 20 000·€960 = €19 200 000
股权成本（CAPM）
re = 1% + 1.1·6.5% = 8.15%
权重
V = €226 700 000, E/V = 0.9153, D/V = 0.08469
WACC
WACC = 0.9153·8.15% + 0.08469·4%·(1 − 0.3) = 7.697%
答案
WACC = 7.697%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 8000 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
单位边际贡献
p − v = 27 − 25 = €2
实现目标利润的销量
Q = (F + 利润)/(p − v) = (10 000 + 6 000)/2 = 8 000
答案
Q = 8 000 件
10.盈亏平衡分析
答案: MS = 20 %
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
盈亏平衡销量
Q = F/(p − v) = 12 000/10 = 1 200
安全边际
MS = (1 500 − 1 200)/1 500·100 = 20%
答案
MS = 20%
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