公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 22%，按季度复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 22%m = 4

EAR = %

2.货币的时间价值困难

你在 22 年内每月月末存入 €500。账户年利率 7.2%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €5007.2% / 12N = 264

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €30 000。它在 4 年内每年年末产生 €9 500，之后可以以 €6 000 出售。资本成本为 6%。求净现值 NPV。

C₀ = €30 000CF = €9 500S = €6 000n = 4r = 6%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一笔 €20 000 的投资在 3 年内每年年末回报 €8 000。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €20 000CF = €8 000n = 3

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 8%，每半年付息一次，10 年后到期。到期收益率为每年 7%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 8%YTM = 7%n = 10

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €1 010，到期收益率为 6%（按年复利），麦考利久期为 4.7 年。如果收益率下降 100 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €1 010y = 6%D = 4.7Δy = −100 bp

P = €

7.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 0.8 的股票要求回报为 6.4%。无风险利率为 2%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 0.8r_e = 6.4%r_f = 2%

r_m = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有4 000 000 股、每股 €19.50 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 4%，税率为 21%。股票的 β 系数为 0.9，无风险利率为 3%，市场回报率为 7%。求 WACC。

β = 0.9r_f = 3%r_m = 7%r_d = 4%T = 21%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

一种产品售价 €17，单位变动成本为 €15。固定成本为每月 €8 000，利润按 20% 征税。每月必须售出多少件 Q 才能获得税后 €4 000？

p = €17v = €15F = €8 000T = 20%税后利润 = €4 000

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

某产品售价每件 €45，单位变动成本 €30，每年固定成本 €18 000。预算销量为 1 500 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。

F = €18 000p = €45v = €30预算 = 1 500

MS = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 23.88 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.22/4 = 0.055

复利一年

EAR = (1 + 0.055)⁴ − 1 = 1.239 − 1 = 23.88%

答案

EAR = 23.88%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: FV = 320950 €

月利率和存款次数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·22 = 264

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(4.851 − 1)/0.006 = €320 949.84

答案

FV = €320 949.84

你自己存入了 €132 000；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 7671 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

9 500·3.465 = 32 918.50

残值的现值

6 000/1.262 = 4 752.56

NPV

NPV = −30 000 + 32 918.50 + 4 752.56 = €7 671.07

答案

NPV = €7 671.07

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 9.701 %

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻³)/i = 20 000/8 000 = 2.5

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 9%: 2.531

i = 10%: 2.487

IRR = 9.701%

答案

IRR = 9.701%

5.债券定价与收益率

答案: P = 1071 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €40.00, i = 0.035, N = 20

票息的现值

€40.00·(1 − 0.5026)/0.035 = €568.50

面值的现值

€1 000·0.5026 = €502.57

价格

P = €1 071.06

答案

P = €1 071.06

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

6.债券定价与收益率

答案: P = 1055 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 4.7/1.06 = 4.434

估计的价格变化

%ΔP ≈ −4.434·(−0.01) = 4.434%

P ≈ 1010·(1 + 0.04434) = €1 054.78

答案

P = €1 054.78

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

7.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 7.5 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (6.4% − 2%)/0.8 = 5.5%

市场回报

r_m = 2% + 5.5% = 7.5%

答案

r_m = 7.5%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.397 %

市场价值

E = 4 000 000·€19.50 = €78 000 000

D = 5 000·€980 = €4 900 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3% + 0.9·4% = 6.6%

权重

V = €82 900 000, E/V = 0.9409, D/V = 0.05911

WACC

WACC = 0.9409·6.6% + 0.05911·4%·(1 − 0.21) = 6.397%

答案

WACC = 6.397%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 6500 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

所需的税前利润

4 000/(1 − 0.2) = €5 000

所需销量

Q = (8 000 + 5 000)/2 = 6 500

答案

Q = 6 500 件

10.盈亏平衡分析

答案: MS = 20 %

盈亏平衡销量

Q = F/(p − v) = 18 000/15 = 1 200

安全边际

MS = (1 500 − 1 200)/1 500·100 = 20%

答案

MS = 20%

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