货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你以名义年利率 5% 投资 €20 000，按月复利。求 6 年后的投资价值 FV。
PV = €20 0005% / 12n = 6
FV = €
2.货币的时间价值困难
你在 24 年内每月月末存入 €50。账户年利率 4.2%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。
A = €504.2% / 12N = 288
FV = €
3.NPV 与 IRR中等
一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€20 000, €29 000, €18 000, €14 000。资本成本为 10%。求净现值 NPV。
r = 10%CF0 = −60 000CF1 = 20 000CF2 = 29 000CF3 = 18 000CF4 = 14 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €7 000, €4 500, €5 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −10 000CF1 = 7 000CF2 = 4 500CF3 = 5 500
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券每年支付 2% 的票息，12 年后到期。其到期收益率从 4% 变为 2%。债券价格变化多少 ΔP？
F = €1 000票面利率 = 2%n = 12y1 = 4%y2 = 2%
ΔP = €
6.债券定价与收益率困难
一只剩余期限为 16 年的债券（面值 €1 000，年票息 6%）售价 €1 108。发行人可在 5 年后以 €1 060 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 6%P = €1 108赎回价格 = €1 060赎回时间 5 年
YTC = %
7.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €10 000 000 的股权和价值 €2 000 000 的债务。其股权成本为 10%，税前债务成本为 4%，税率为 28%。求 WACC。
E = €10 000 000D = €2 000 000re = 10%rd = 4%T = 28%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有5 000 000 股、每股 €44.00 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 4.5%，税率为 30%。股票的 β 系数为 1.2，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 9%。求 WACC。
β = 1.2rf = 3.5%rm = 9%rd = 4.5%T = 30%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
某产品售价每件 €8，单位变动成本 €4。每月固定成本为 €10 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €2 000？
F = €10 000p = €8v = €4利润 = €2 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
某产品售价每件 €18，单位变动成本 €8，每年固定成本 €20 000。预算销量为 2 500 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。
F = €20 000p = €18v = €8预算 = 2 500
MS = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: FV = 26980 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = r/m = 0.05/12 = 0.004167
N = m·n = 12·6 = 72
终值
FV = 20 000·(1 + 0.004167)72 = 20 000·1.349 = €26 980.35
答案
FV = €26 980.35
2.货币的时间价值
答案: FV = 24790 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和存款次数
i = 0.042/12 = 0.0035
N = 12·24 = 288
存款的终值
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 50·(2.735 − 1)/0.0035 = €24 789.96
答案
FV = €24 789.96
你自己存入了 €14 400；其余是利息。
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = 5235 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0.1)1 = 20 000/1.1 = 18 181.82
CF2/(1 + 0.1)2 = 29 000/1.21 = 23 966.94
CF3/(1 + 0.1)3 = 18 000/1.331 = 13 523.67
CF4/(1 + 0.1)4 = 14 000/1.464 = 9 562.19
相加
NPV = €5 234.62
答案
NPV = €5 234.62
NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 34.12 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(30%) = 550.75
NPV(35%) = −110.25
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 30 + 5·550.75/(550.75 − (−110.25)) = 34.17%
精确: NPV(34.12%) = 0 → IRR = 34.12%
答案
IRR = 34.12%
5.债券定价与收益率
答案: ΔP = 187.7 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
按原收益率计算的价格
C = €20.00, i = 0.04, N = 12
€20.00·(1 − 0.6246)/0.04 + €1 000·0.6246 = €187.70 + €624.60 = €812.30
按新收益率计算的价格
C = €20.00, i = 0.02, N = 12
€20.00·(1 − 0.7885)/0.02 + €1 000·0.7885 = €211.51 + €788.49 = €1 000.00
变化
ΔP = 1 000.00 − 812.30 = €187.70
答案
ΔP = €187.70
6.债券定价与收益率
答案: YTC = 4.625 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
1108 = 60·(1 − (1 + y)−5)/y + 1060/(1 + y)5
数值求解
y = 4%: €1 138.35
y = 5%: €1 090.31
YTC = 4.625%
答案
YTC = 4.625%
到期收益率为 5.003%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 8.813 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €12 000 000, E/V = 0.8333, D/V = 0.1667
WACC
WACC = 0.8333·10% + 0.1667·4%·(1 − 0.28) = 8.813%
答案
WACC = 8.813%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 9.494 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 5 000 000·€44.00 = €220 000 000
D = 20 000·€1 050 = €21 000 000
股权成本（CAPM）
re = 3.5% + 1.2·5.5% = 10.1%
权重
V = €241 000 000, E/V = 0.9129, D/V = 0.08714
WACC
WACC = 0.9129·10.1% + 0.08714·4.5%·(1 − 0.3) = 9.494%
答案
WACC = 9.494%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 3000 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
单位边际贡献
p − v = 8 − 4 = €4
实现目标利润的销量
Q = (F + 利润)/(p − v) = (10 000 + 2 000)/4 = 3 000
答案
Q = 3 000 件
10.盈亏平衡分析
答案: MS = 20 %
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
盈亏平衡销量
Q = F/(p − v) = 20 000/10 = 2 000
安全边际
MS = (2 500 − 2 000)/2 500·100 = 20%
答案
MS = 20%
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