货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你以每年 2% 的利率连续复利投资 €10 000。求 12 年后的价值 FV。
PV = €10 000r = 2%t = 12
FV = €
2.货币的时间价值困难
一笔 €25 000 的贷款在 6 年内以等额月供偿还。年利率 3%，按月复利。求月供 A。
P = €25 0003% / 12N = 72
A = €
3.NPV 与 IRR中等
一个项目今天需投入 €250 000。它在第一年年末产生 €25 000，之后现金流每年永久增长 1%。资本成本为 10%。求净现值 NPV。
C0 = €250 000CF1 = €25 000g = 1%r = 10%
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €16 500, €10 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −25 000CF1 = 16 500CF2 = 10 500
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
你在一只剩余期限为 11 年的债券（面值 €1 000，年票息 2%）到期收益率为 5.5% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 7% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 2%n = 11y0 = 5.5%y1 = 7%
HPR = %
6.债券定价与收益率困难
一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4.5% 的票息，4 年后到期。到期收益率为 5%。求麦考利久期 D，以年表示。
F = €1 000票面利率 = 4.5%n = 4YTM = 5%
D = 年
7.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €3 000 000 的股权和价值 €2 000 000 的债务。其股权成本为 8%，税前债务成本为 4%，税率为 25.8%。求 WACC。
E = €3 000 000D = €2 000 000re = 8%rd = 4%T = 25.8%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有1 000 000 股、每股 €40.50 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 3%，税率为 30%。股票的 β 系数为 0.8，无风险利率为 1.5%，市场回报率为 6.5%。求 WACC。
β = 0.8rf = 1.5%rm = 6.5%rd = 3%T = 30%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
一种产品售价 €38，单位变动成本为 €30。固定成本为每月 €9 600，利润按 20% 征税。每月必须售出多少件 Q 才能获得税后 €4 000？
p = €38v = €30F = €9 600T = 20%税后利润 = €4 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
一家公司每月以每件 €14 销售 8 000 件，单位变动成本为 €6，固定成本为每月 €32 000。单位变动成本上涨 €4，价格保持不变。现在每月必须销售多少件 Q 才能保持相同的利润？
Q = 8 000p = €14v = €6 → €10F = €32 000
Q = 件
3溶液
1.货币的时间价值
答案: FV = 12712 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
指数
r·t = 0.02·12 = 0.24
e0.24 = 1.271
终值
FV = 10 000·1.271 = €12 712.49
答案
FV = €12 712.49
2.货币的时间价值
答案: A = 379.8 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和还款期数
i = 0.03/12 = 0.0025
N = 12·6 = 72
每期还款
N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。
(1 + i)−N = 0.8355
A = 25 000·0.0025/(1 − 0.8355) = €379.84
答案
A = €379.84
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = 27778 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
现金流的价值
PV = 25 000/(0.1 − 0.01) = 277 777.78
NPV
NPV = 277 777.78 − 250 000 = €27 777.78
答案
NPV = €27 777.78
NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 5.726 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(5%) = 238.10
NPV(10%) = −1 322.31
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 5 + 5·238.10/(238.10 − (−1 322.31)) = 5.763%
精确: NPV(5.726%) = 0 → IRR = 5.726%
答案
IRR = 5.726%
5.债券定价与收益率
答案: HPR = −6.688 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
买入价
C = €20.00, i = 0.055, N = 11
€20.00·(1 − 0.5549)/0.055 + €1 000·0.5549 = €161.85 + €554.91 = €716.76
卖出价
C = €20.00, i = 0.07, N = 10
€20.00·(1 − 0.5083)/0.07 + €1 000·0.5083 = €140.47 + €508.35 = €648.82
持有期收益率
HPR = (20 + 648.82 − 716.76)/716.76 = −6.688%
答案
HPR = −6.688%
6.债券定价与收益率
答案: D = 3.746 年
久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
各笔现金流的现值
t = 1: 45/1.05 = 42.86, t·PV = 42.86
t = 2: 45/1.103 = 40.82, t·PV = 81.63
t = 3: 45/1.158 = 38.87, t·PV = 116.62
t = 4: 1045/1.216 = 859.72, t·PV = 3 438.90
久期
P = 982.27
D = 3 680.00/982.27 = 3.746
答案
D = 3.746 年
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 5.987 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €5 000 000, E/V = 0.6, D/V = 0.4
WACC
WACC = 0.6·8% + 0.4·4%·(1 − 0.258) = 5.987%
答案
WACC = 5.987%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 3.828 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 1 000 000·€40.50 = €40 500 000
D = 40 000·€980 = €39 200 000
股权成本（CAPM）
re = 1.5% + 0.8·5% = 5.5%
权重
V = €79 700 000, E/V = 0.5082, D/V = 0.4918
WACC
WACC = 0.5082·5.5% + 0.4918·3%·(1 − 0.3) = 3.828%
答案
WACC = 3.828%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 1825 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
所需的税前利润
4 000/(1 − 0.2) = €5 000
所需销量
Q = (9 600 + 5 000)/8 = 1 825
答案
Q = 1 825 件
10.盈亏平衡分析
答案: Q = 16000 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
当前利润
Π = 8 000·(14 − 6) − 32 000 = €32 000
新的单位边际贡献
14 − 10 = €4
保持相同利润所需的件数
Q = (32 000 + 32 000)/4 = 16 000
答案
Q = 16 000 件
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