货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你以名义年利率 3% 投资 €2 000，按月复利。求 5 年后的投资价值 FV。
PV = €2 0003% / 12n = 5
FV = €
2.货币的时间价值困难
一笔 €250 000 的贷款在 25 年内以等额月供偿还。年利率 4.2%，按月复利。求月供 A。
P = €250 0004.2% / 12N = 300
A = €
3.NPV 与 IRR中等
一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€20 000, €15 000, €15 000, €26 000。资本成本为 5%。求净现值 NPV。
r = 5%CF0 = −75 000CF1 = 20 000CF2 = 15 000CF3 = 15 000CF4 = 26 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
一个项目需投入 €25 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €10 500, €14 000, €10 000。现金流可按 12% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。
r = 12%CF0 = −25 000CF1 = 10 500CF2 = 14 000CF3 = 10 000
MIRR = %
5.债券定价与收益率中等
一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 7%，每半年付息一次，6 年后到期。到期收益率为每年 3%。 求该债券的价格 P。
F = €1 000票面利率 = 7%YTM = 3%n = 6
P = €
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 6% 的债券 8 年后到期，售价为 €1 100。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 6%n = 8P = €1 100
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €4 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 11%，税前债务成本为 3.5%，税率为 25%。求 WACC。
E = €4 000 000D = €6 000 000re = 11%rd = 3.5%T = 25%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有2 500 000 股、每股 €21.00 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 4%，税率为 30%。股票的 β 系数为 1.1，无风险利率为 1.5%，市场回报率为 8%。求 WACC。
β = 1.1rf = 1.5%rm = 8%rd = 4%T = 30%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
某产品售价每件 €50，单位变动成本 €45。每月固定成本为 €6 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €2 000？
F = €6 000p = €50v = €45利润 = €2 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
一家公司每月以每件 €33 销售 12 500 件，单位变动成本为 €25，固定成本为每月 €40 000。单位变动成本上涨 €3，价格保持不变。现在每月必须销售多少件 Q 才能保持相同的利润？
Q = 12 500p = €33v = €25 → €28F = €40 000
Q = 件
3溶液
1.货币的时间价值
答案: FV = 2323 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = r/m = 0.03/12 = 0.0025
N = m·n = 12·5 = 60
终值
FV = 2 000·(1 + 0.0025)60 = 2 000·1.162 = €2 323.23
答案
FV = €2 323.23
2.货币的时间价值
答案: A = 1347 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和还款期数
i = 0.042/12 = 0.0035
N = 12·25 = 300
每期还款
N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。
(1 + i)−N = 0.3506
A = 250 000·0.0035/(1 − 0.3506) = €1 347.36
答案
A = €1 347.36
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = −7999 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0.05)1 = 20 000/1.05 = 19 047.62
CF2/(1 + 0.05)2 = 15 000/1.103 = 13 605.44
CF3/(1 + 0.05)3 = 15 000/1.158 = 12 957.56
CF4/(1 + 0.05)4 = 26 000/1.216 = 21 390.26
相加
NPV = €−7 999.11
答案
NPV = €−7 999.11
NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: MIRR = 15.83 %
修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。
流入的终值
10 500·1.122 = 13 171.20
14 000·1.121 = 15 680.00
10 000·1.120 = 10 000.00
TV = 38 851.20
MIRR
MIRR = (38 851.20/25 000)1/3 − 1 = 15.83%
答案
MIRR = 15.83%
5.债券定价与收益率
答案: P = 1218 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €35.00, i = 0.015, N = 12
票息的现值
€35.00·(1 − 0.8364)/0.015 = €381.76
面值的现值
€1 000·0.8364 = €836.39
价格
P = €1 218.15
答案
P = €1 218.15
收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 4.485 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€1 100 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
数值求解
P(4%) = €1 134.65, P(5%) = €1 064.63
YTM = 4.485%
答案
YTM = 4.485%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 5.975 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €10 000 000, E/V = 0.4, D/V = 0.6
WACC
WACC = 0.4·11% + 0.6·3.5%·(1 − 0.25) = 5.975%
答案
WACC = 5.975%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 6.05 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 2 500 000·€21.00 = €52 500 000
D = 40 000·€1 050 = €42 000 000
股权成本（CAPM）
re = 1.5% + 1.1·6.5% = 8.65%
权重
V = €94 500 000, E/V = 0.5556, D/V = 0.4444
WACC
WACC = 0.5556·8.65% + 0.4444·4%·(1 − 0.3) = 6.05%
答案
WACC = 6.05%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 1600 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
单位边际贡献
p − v = 50 − 45 = €5
实现目标利润的销量
Q = (F + 利润)/(p − v) = (6 000 + 2 000)/5 = 1 600
答案
Q = 1 600 件
10.盈亏平衡分析
答案: Q = 20000 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
当前利润
Π = 12 500·(33 − 25) − 40 000 = €60 000
新的单位边际贡献
33 − 28 = €5
保持相同利润所需的件数
Q = (40 000 + 60 000)/5 = 20 000
答案
Q = 20 000 件
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