公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 6 年后需要 €15 000。某账户年利率 4%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €15 0004% / 12n = 6

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 25 年内每月月末存入 €150。账户年利率 3.6%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €1503.6% / 12N = 300

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €100 000。它在 8 年内每年年末产生 €12 500，之后可以以 €15 000 出售。资本成本为 6%。求净现值 NPV。

C₀ = €100 000CF = €12 500S = €15 000n = 8r = 6%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €9 500, €12 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 9 500CF₂ = 12 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4.5%，每半年付息一次，6 年后到期。到期收益率为每年 3.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 4.5%YTM = 3.5%n = 6

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只剩余期限为 12 年的债券（面值 €1 000，年票息 6%）售价 €1 089。发行人可在 6 年后以 €1 060 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6%P = €1 089赎回价格 = €1 060赎回时间 6 年

YTC = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €12 000 000 的股权和价值 €2 000 000 的债务。其股权成本为 12%，税前债务成本为 4%，税率为 25%。求 WACC。

E = €12 000 000D = €2 000 000r_e = 12%r_d = 4%T = 25%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司有 1 000 000 股股票，股价为 €15.00；其股权账面价值为 €7 500 000。公司刚支付了每股 €0.80 的股利，股利每年增长 4%。其债务市场价值为 €12 000 000，税前成本为 6%。税率为 21%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。

N = 1 000 000P₀ = €15.00股权账面价值 = €7 500 000D₀ = €0.80g = 4%D = €12 000 000r_d = 6%T = 21%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

一种产品售价 €60，单位变动成本为 €45。固定成本为每月 €60 000，利润按 25% 征税。每月必须售出多少件 Q 才能获得税后 €18 000？

p = €60v = €45F = €60 000T = 25%税后利润 = €18 000

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

一家公司以每件 €42 销售 3 750 件，单位变动成本为 €30，固定成本为 €30 000。如果销量减少 10%，营业利润变化百分之多少 %ΔΠ？

Q = 3 750p = €42v = €30F = €30 000%ΔQ = −10%

%ΔΠ = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 11804 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.04/12 = 0.003333

N = 12·6 = 72

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1.271 = €11 804.13

答案

PV = €11 804.13

2.货币的时间价值

答案: FV = 72815 €

月利率和存款次数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·25 = 300

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(2.456 − 1)/0.003 = €72 814.58

答案

FV = €72 814.58

你自己存入了 €45 000；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −12966 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

12 500·6.21 = 77 622.42

残值的现值

15 000/1.594 = 9 411.19

NPV

NPV = −100 000 + 77 622.42 + 9 411.19 = −€12 966.39

答案

NPV = −€12 966.39

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 6.297 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(5%) = 385.49

NPV(10%) = −1 033.06

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 5 + 5·385.49/(385.49 − (−1 033.06)) = 6.359%

精确: NPV(6.297%) = 0 → IRR = 6.297%

答案

IRR = 6.297%

5.债券定价与收益率

答案: P = 1054 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €22.50, i = 0.0175, N = 12

票息的现值

€22.50·(1 − 0.8121)/0.0175 = €241.64

面值的现值

€1 000·0.8121 = €812.06

价格

P = €1 053.70

答案

P = €1 053.70

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTC = 5.119 %

收益率方程

1089 = 60·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1060/(1 + y)⁶

数值求解

y = 5%: €1 095.53

y = 6%: €1 042.30

YTC = 5.119%

答案

YTC = 5.119%

到期收益率为 4.996%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.71 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €14 000 000, E/V = 0.8571, D/V = 0.1429

WACC

WACC = 0.8571·12% + 0.1429·4%·(1 − 0.25) = 10.71%

答案

WACC = 10.71%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.41 %

股权成本

D₁ = 0.8·1.04 = €0.83

r_e = 0.832/15 + 0.04 = 9.547%

市场价值

E = 1 000 000·€15.00 = €15 000 000

V = €27 000 000, E/V = 0.5556, D/V = 0.4444

WACC

WACC = 0.5556·9.547% + 0.4444·6%·(1 − 0.21) = 7.41%

答案

WACC = 7.41%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 5600 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

所需的税前利润

18 000/(1 − 0.25) = €24 000

所需销量

Q = (60 000 + 24 000)/15 = 5 600

答案

Q = 5 600 件

10.盈亏平衡分析

答案: %ΔΠ = −30 %

经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。

边际贡献和利润

CM = 3 750·12 = €45 000

Π = 45 000 − 30 000 = €15 000

DOL

DOL = 45 000/15 000 = 3

利润的变化

%ΔΠ = 3·(−10%) = −30%

答案

%ΔΠ = −30%

校核：新利润 = 3 375·12 − 30 000 = €10 500.00。

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