公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 8% 的利率连续复利投资 €1 000。求 6 年后的价值 FV。

PV = €1 000r = 8%t = 6

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €200 000 的贷款在 20 年内按月等额偿还，年利率 3.6%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？

P = €200 0003.6% / 12N = 240

I = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €30 000，使用 10 年，每年运行费用为 €1 000（每年年末支付）。资本成本为 5%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €30 000M = €1 000n = 10r = 5%

EAC = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €16 500, €13 000, €18 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −25 000CF₁ = 16 500CF₂ = 13 000CF₃ = 18 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 15 年后到期，每年付息。到期收益率为 8% 时其售价为 €658。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 15P = €658YTM = 8%

c = %

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 3% 的债券 9 年后到期，售价为 €925。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 9P = €925

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.6。其股权资本成本为 14%，税前债务成本为 3%，税率为 21%。求 WACC。

D/E = 0.6r_e = 14%r_d = 3%T = 21%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有4 000 000 股、每股 €9.50 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 3%，税率为 30%。股票的 β 系数为 1.3，无风险利率为 3%，市场回报率为 9%。求 WACC。

β = 1.3r_f = 3%r_m = 9%r_d = 3%T = 30%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

某产品售价每件 €27，单位变动成本 €25。每月固定成本为 €8 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €6 000？

F = €8 000p = €27v = €25利润 = €6 000

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

一家公司以每件 €7 销售 1 600 件，单位变动成本为 €4，固定成本为 €2 400。如果销量增加 10%，营业利润变化百分之多少 %ΔΠ？

Q = 1 600p = €7v = €4F = €2 400%ΔQ = +10%

%ΔΠ = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 1616 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.08·6 = 0.48

e^0.48 = 1.616

终值

FV = 1 000·1.616 = €1 616.07

答案

FV = €1 616.07

2.货币的时间价值

答案: I = 80854 €

月供

i = 0.003, N = 240

A = 200 000·0.003/(1 − (1 + 0.003)⁻²⁴⁰) = €1 170.22

利息总额

I = N·A − P = 240·1170 − 200 000 = €80 853.50

答案

I = €80 853.50

3.NPV 与 IRR

答案: EAC = 4885 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.05⁻¹⁰)/0.05 = 7.722

年化购置价格

30 000/7.722 = 3 885.14

EAC

EAC = 3 885.14 + 1 000 = €4 885.14

答案

EAC = €4 885.14

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 40.5 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(40%) = 160.35

NPV(45%) = −1 369.26

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 40 + 5·160.35/(160.35 − (−1 369.26)) = 40.52%

精确: NPV(40.5%) = 0 → IRR = 40.5%

答案

IRR = 40.5%

5.债券定价与收益率

答案: c = 4.004 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.08)⁻¹⁵ = €315.24

票息

C = (658 − 315.24)/8.559 = €40.04

票面利率

c = 40.04/1000 = 4.004%

答案

c = 4.004%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 4.009 %

收益率方程

€925 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

数值求解

P(4%) = €925.65, P(5%) = €857.84

YTM = 4.009%

答案

YTM = 4.009%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.639 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 0.6) = 0.625

D/V = 0.6/(1 + 0.6) = 0.375

WACC

WACC = 0.625·14% + 0.375·3%·(1 − 0.21) = 9.639%

答案

WACC = 9.639%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.232 %

市场价值

E = 4 000 000·€9.50 = €38 000 000

D = 40 000·€1 050 = €42 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3% + 1.3·6% = 10.8%

权重

V = €80 000 000, E/V = 0.475, D/V = 0.525

WACC

WACC = 0.475·10.8% + 0.525·3%·(1 − 0.3) = 6.232%

答案

WACC = 6.232%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 7000 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

单位边际贡献

p − v = 27 − 25 = €2

实现目标利润的销量

Q = (F + 利润)/(p − v) = (8 000 + 6 000)/2 = 7 000

答案

Q = 7 000 件

10.盈亏平衡分析

答案: %ΔΠ = 20 %

经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。

边际贡献和利润

CM = 1 600·3 = €4 800

Π = 4 800 − 2 400 = €2 400

DOL

DOL = 4 800/2 400 = 2

利润的变化

%ΔΠ = 2·(+10%) = +20%

答案

%ΔΠ = +20%

校核：新利润 = 1 760·3 − 2 400 = €2 880.00。

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