公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 6% 投资 €5 000，按月复利。求 4 年后的投资价值 FV。

PV = €5 0006% / 12n = 4

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €25 000 的贷款在 7 年内按月等额偿还，年利率 3.6%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？

P = €25 0003.6% / 12N = 84

I = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €30 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€6 000, €13 000, €8 000。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

r = 10%CF₀ = −30 000CF₁ = 6 000CF₂ = 13 000CF₃ = 8 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €24 000, €28 000, €19 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −40 000CF₁ = 24 000CF₂ = 28 000CF₃ = 19 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4% 的票息，9 年后到期。其到期收益率从 2.5% 变为 1.5%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 4%n = 9y₁ = 2.5%y₂ = 1.5%

ΔP = €

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 2% 的票息，分两次半年支付，12 年后到期。其售价为 €661。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 2% (2×)n = 12P = €661

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 1。其股权资本成本为 11%，税前债务成本为 4%，税率为 21%。求 WACC。

D/E = 1r_e = 11%r_d = 4%T = 21%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有4 000 000 股、每股 €30.00 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €960 的债券。税前债务成本为 3.5%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 1.1，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 9%。求 WACC。

β = 1.1r_f = 2.5%r_m = 9%r_d = 3.5%T = 25.8%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

一家公司以每件 €38 的价格销售 3 600 件。单位变动成本为 €18，固定成本为 €24 000。求该销售水平下的经营杠杆系数 DOL。

Q = 3 600p = €38v = €18F = €24 000

DOL =

10.盈亏平衡分析困难

某产品售价每件 €18，单位变动成本 €12，每年固定成本 €15 000。预算销量为 3 500 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。

F = €15 000p = €18v = €12预算 = 3 500

MS = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 6352 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.06/12 = 0.005

N = m·n = 12·4 = 48

终值

FV = 5 000·(1 + 0.005)⁴⁸ = 5 000·1.27 = €6 352.45

答案

FV = €6 352.45

2.货币的时间价值

答案: I = 3319 €

月供

i = 0.003, N = 84

A = 25 000·0.003/(1 − (1 + 0.003)⁻⁸⁴) = €337.14

利息总额

I = N·A − P = 84·337.1 − 25 000 = €3 319.44

答案

I = €3 319.44

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −7791 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.1)¹ = 6 000/1.1 = 5 454.55

CF₂/(1 + 0.1)² = 13 000/1.21 = 10 743.80

CF₃/(1 + 0.1)³ = 8 000/1.331 = 6 010.52

相加

NPV = €−7 791.13

答案

NPV = €−7 791.13

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 37.04 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(35%) = 1 066.91

NPV(40%) = −1 465.01

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 35 + 5·1 066.91/(1 066.91 − (−1 465.01)) = 37.11%

精确: NPV(37.04%) = 0 → IRR = 37.04%

答案

IRR = 37.04%

5.债券定价与收益率

答案: ΔP = 89.45 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €40.00, i = 0.025, N = 9

€40.00·(1 − 0.8007)/0.025 + €1 000·0.8007 = €318.83 + €800.73 = €1 119.56

按新收益率计算的价格

C = €40.00, i = 0.015, N = 9

€40.00·(1 − 0.8746)/0.015 + €1 000·0.8746 = €334.42 + €874.59 = €1 209.01

变化

ΔP = 1 209.01 − 1 119.56 = €89.45

答案

ΔP = €89.45

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.004 %

每期

C = €10.00, N = 24

数值求解

i = 3.002% 每半年

YTM

YTM = 2·3.002% = 6.004%

答案

YTM = 6.004%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.08 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 1) = 0.5

D/V = 1/(1 + 1) = 0.5

WACC

WACC = 0.5·11% + 0.5·4%·(1 − 0.21) = 7.08%

答案

WACC = 7.08%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.128 %

市场价值

E = 4 000 000·€30.00 = €120 000 000

D = 10 000·€960 = €9 600 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 1.1·6.5% = 9.65%

权重

V = €129 600 000, E/V = 0.9259, D/V = 0.07407

WACC

WACC = 0.9259·9.65% + 0.07407·3.5%·(1 − 0.258) = 9.128%

答案

WACC = 9.128%

9.盈亏平衡分析

答案: DOL = 1.5

经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。

边际贡献总额

CM = 3 600·(38 − 18) = €72 000

营业利润

Π = 72 000 − 24 000 = €48 000

DOL

DOL = 72 000/48 000 = 1.5

答案

DOL = 1.5

10.盈亏平衡分析

答案: MS = 28.57 %

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

盈亏平衡销量

Q = F/(p − v) = 15 000/6 = 2 500

安全边际

MS = (3 500 − 2 500)/3 500·100 = 28.57%

答案

MS = 28.57%

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