工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (√(x² + 3x) − x)。

f(x) = √(x² + 3x) − xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 ln(1 + 3x)/sin(2x)，x 以弧度计。

f(x) = ln(1 + 3x)/sin(2x)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = (2x + 5)⁵。求 f′(2)。

f(x) = (2x + 5)⁵x = 2

f′(2) =

4.导数困难

设 f(x) = x³ + 9x² + 24x + 2。求局部极大值点的 x 坐标 x。

f(x) = x³ + 9x² + 24x + 2

x =

5.积分中等

计算 I = ∫₁³ x·ln x dx。

∫₁³ x ln x dx

I =

6.积分困难

求抛物线 y = 1 − x² 与 x 轴之间区域的面积 A。

y = 1 − x²

A =

7.复数中等

求 z = −8 − j7 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间的主值。

z = −8 − j7

θ = °

8.复数困难

z³ − 7z² + 31z − 25 = 0 的一个根为 z₁ = 3 + j4。系数为实数。求实根 r。

z₁ = 3 + j4

r =

9.微分方程中等

解 y″ + 6y′ + 8y = 0，其中 y(0) = 4，y′(0) = 6。求 y(1.5)。

y″ + 6y′ + 8y = 0y(0) = 4y′(0) = 6

y(1.5) =

10.微分方程困难

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 2y′ + 17y = 170，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求 y(0.25)；角度以弧度为单位。

y″ + 2y′ + 17y = 170y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.25) =

11.矩阵与行列式中等

对所示矩阵令 C = AB。求元素 c₁₂（第 1 行，第 2 列）。

A = [−2 6; 1 2]B = [5 3; −4 −4]

c₁₂ =

12.矩阵与行列式困难

求所示矩阵 A 的较大特征值 λ。

A = [2 2; 2 2]

λ =

13.向量：点积和叉积中等

求 a = (1, 6, 0) 在 b = (3, 3, −4) 上的标量投影 comp_b a，也就是 a 在 b 方向上的分量。

a = (1, 6, 0)b = (3, 3, −4)

comp_b a =

14.向量：点积和叉积困难

对于 a = (−5, −3, 2) 和 b = (−5, 1, 1)，求叉积 a × b 的 x 分量 (a × b)_x。

a = (−5, −3, 2)b = (−5, 1, 1)

(a × b)_x =

15.概率中等

袋中有 4 个红球和 9 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

4 / 9

P =

16.概率困难

一局游戏的参与费用为 €3。你以概率 0.15 赢得 €6，以概率 0.01 赢得 €60；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €3€6: p = 0.15€60: p = 0.01

E(G) = €

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：30, 34, 50, 54, 52, 32, 40。

n = 7

s =

18.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 70，标准差为 5。求成绩 73 的 z 分数 z。

μ = 70σ = 5x = 73

z =

19.正态分布中等

配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 20 和 41 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 32σ = 6x₁ = 20x₂ = 41

P =

20.正态分布困难

配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。求数值 x，使得有 99% 的数据低于它（第 99 百分位数）。

μ = 32σ = 6P = 99%

x = min

3溶液

1.极限

答案: L = 1.5

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

乘以共轭式

f(x) = 3x/(√(x² + 3x) + x)

除以 x

f(x) = 3/(√(1 + 3/x) + 1)

令 x → ∞

L = 3/(1 + 1) = 1.5

答案

L = 1.5

2.极限

答案: L = 1.5

洛必达法则

L = lim_x→0 [3/(1 + 3x)]/[2·cos 2x]

代入 x = 0

L = 3/2 = 1.5

答案

L = 1.5

3.导数

答案: f′(2) = 65610

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

链式法则

f′(x) = 5·(2x + 5)⁴·2

代入

f′(2) = 5·9⁴·2 = 65610

答案

f′(2) = 65610

4.导数

答案: x = −4

导数

f′(x) = 3x² + 18x + 24 = 3·(x² + 6x + 8)

解 f′(x) = 0

x = −4 或 x = −2

判断哪个是哪个

f″(x) = 6x + 18：在极大值处为负，在极小值处为正。

f″(−4) = −6, f″(−2) = 6

x = −4

答案

x = −4

5.积分

答案: I = 2.944

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

选取 u 和 dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

原函数

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

极限

(4.5·ln 3 − 2.25) − (0 − 0.25) = 2.944

答案

I = 2.944

6.积分

答案: A = 1.333

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

零点

1 − x² = 0 → x = ±1

积分

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333

答案

A = 1.333

7.复数

答案: θ = −138.8 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

象限

a = −8, b = −7 → III

参考角

α = atan(7/8) = 41.19°

辐角

θ = −(180° − α) = −138.8°

答案

θ = −138.8°

极坐标形式为 z = 10.63∠−138.8°。

8.复数

答案: r = 1

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = 3 − j4

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·3·z + (3² + 4²) = z² − 6z + 25

提取二次因式

z³ − 7z² + 31z − 25 = (z² − 6z + 25)(z − 1)

实根

r = 1

答案

r = 1

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = 6 + 1 = 7 = −(−7)。

9.微分方程

答案: y(1.5) = 0.5303

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

特征根

(r + 2)(r + 4) = 0 → r = −2, −4

由初值求常数

A + B = 4, −2A − 4B = 6

A = 11, B = −7

求值

y(1.5) = 11·e⁻³ + (−7)·e⁻⁶ = 0.5303

答案

y(1.5) = 0.5303

10.微分方程

答案: y(0.25) = 4.154

稳态值与根

y_ss = 10, r = −1 ± 4j

由初值求常数

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10

y′(0) = −1A + 4B = 0 → B = −2.5

求值

y(0.25) = 10·(1 − e^−0.25(cos 1 + 0.25·sin 1)) = 4.154

答案

y(0.25) = 4.154

11.矩阵与行列式

答案: c₁₂ = −30

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

行乘列

c₁₂ = (−2)·3 + 6·(−4) = −30

答案

c₁₂ = −30

12.矩阵与行列式

答案: λ = 4

特征方程

λ² − (4)λ + (0) = 0

求解

λ = (4 ± √(16))/2 → λ = 0, 4

λ = 4

答案

λ = 4

13.向量：点积和叉积

答案: comp_b a = 3.601

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = 1·3 + 6·3 + 0·(−4) = 21

b 的长度

|b| = √(3² + 3² + (−4)²) = 5.831

标量投影

comp_b a = a·b/|b| = 21/5.831 = 3.601

答案

comp_b a = 3.601

14.向量：点积和叉积

答案: (a × b)_x = −5

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积，逐个分量计算

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−3)·1 − 2·1 = −5

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 2·(−5) − (−5)·1 = −5

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−5)·1 − (−3)·(−5) = −20

所求分量

(a × b)_x = −5

答案

(a × b)_x = −5

检验：a × b 与两个向量都垂直，所以它与 a 和与 b 的点积都为零。

15.概率

答案: P = 0.07692

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 4/13 · 3/12 = 12/156 = 0.07692

答案

P = 0.07692

16.概率

答案: E(G) = −1.5 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 3 (p = 0.15), 57 (p = 0.01), −3 (p = 0.84)

期望值

E(G) = 3·0.15 + 57·0.01 − 3·0.84 = −1.5 €

答案

E(G) = −1.5 €

负值表示平均而言你会亏钱。

17.描述统计

答案: s = 10.16

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 292/7 = 41.71

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−11.71)² + (−7.714)² + 8.286² + 12.29² + 10.29² + (−9.714)² + (−1.714)² = 619.4

标准差

s = √(619.4/6) = 10.16

答案

s = 10.16

18.描述统计

答案: z = 0.6

标准化

z = (73 − 70)/5 = 0.6

答案

z = 0.6

19.正态分布

答案: P = 0.9104

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (20 − 32)/6 = −2

z₂ = (41 − 32)/6 = 1.5

中间面积

P = Φ(1.5) − Φ(−2) = 0.9332 − 0.02275 = 0.9104

答案

P = 0.9104

20.正态分布

答案: x = 45.96 min

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.99 → z = 2.326

换算回 x

x = 32 + 2.326·6 = 45.96 min

答案

x = 45.96 min

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