工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (−5x³ − 6x − 3)/(4x³ + 2x + 1)。

f(x) = (−5x³ − 6x − 3)/(4x³ + 2x + 1)x → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (e^x − 1 − x)/x²。

f(x) = (e^x − 1 − x)/x²x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = (3x − 1)³。求 f′(0)。

f(x) = (3x − 1)³x = 0

f′(0) =

4.导数困难

f(x) = −x² + x + 3 在 x = −1 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = −x² + x + 3x = −1

b =

5.积分中等

计算 I = ∫₂⁴ 5/x dx。

f(x) = 5/x[2, 4]

I =

6.积分困难

计算 I = ∫₀^2.5 x²·eˣ dx。

∫₀^2.5 x²eˣ dx

I =

7.复数中等

图中显示 z = 1 + j。已知 w = 0.5∠−90°，点选表示 z/w 的点。

z = 1 + jw = 0.5∠−90°

1A (2 + j2)
2B (2 − j2)
3C (−1 + j)
4D (−2 + j2)

8.复数困难

A–D 各点中恰有一个是 z³ = 27∠120° 的根。点选它。

w = 27∠120°n = 3

1A (3∠100°)
2B (5.4∠40°)
3C (3∠40°)
4D (3∠−140°)

9.微分方程中等

解 y″ + 6y′ + 5y = 0，其中 y(0) = 5，y′(0) = 0。求 y(0.5)。

y″ + 6y′ + 5y = 0y(0) = 5y′(0) = 0

y(0.5) =

10.微分方程困难

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + y′ + 9.25y = 18.5，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求其阶跃响应的峰值 y_max。

y″ + y′ + 9.25y = 18.5y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [−1 0 5; 5 −3 2; −3 −4 −4]

det A =

12.矩阵与行列式困难

求所示矩阵 A 的较大特征值 λ。

A = [2 4; −1 7]

λ =

13.向量：点积和叉积中等

求 a = (−5, −1, −2) 在 b = (−3, −2, 5) 上的标量投影 comp_b a，也就是 a 在 b 方向上的分量。

a = (−5, −1, −2)b = (−3, −2, 5)

comp_b a =

14.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (2, 2, 3) 和 b = (−4, −3, 4) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 x 分量 n̂_x。

a = (2, 2, 3)b = (−4, −3, 4)n̂_z > 0

n̂_x =

15.概率中等

从 8 人中选出 5 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 8k = 5

N =

16.概率困难

一份测试有 6 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.5，相互独立。恰好答对 1 题的概率 P 是多少？

n = 6p = 0.5k = 1

P =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：31, 53, 34, 33, 53, 23。

n = 6

s =

18.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 70，标准差为 20。求成绩 100 的 z 分数 z。

μ = 70σ = 20x = 100

z =

19.正态分布中等

水泥袋的质量相互独立，服从均值 25 kg、标准差 0.5 kg 的正态分布。求其中 8 个的总质量低于 198.6 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 8< 198.6 kg

P =

20.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 20% 的数据低于它（第 20 百分位数）。

μ = 100σ = 15P = 20%

x = 分

3溶液

1.极限

答案: L = −1.25

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

除以最高次幂

(−5 + (−6)/x² + (−3)/x³)/(4 + 2/x² + 1/x³)

令 x → ∞

L = −5/4 = −1.25

答案

L = −1.25

次数相同时，极限为首项系数之比。

2.极限

答案: L = 0.5

第一次应用

(1·e^x − 1)/(2x) → 0/0

第二次应用

1·e^x/2

代入 x = 0

L = 1·1/2 = 0.5

答案

L = 0.5

3.导数

答案: f′(0) = 9

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

链式法则

f′(x) = 3·(3x − 1)²·3

代入

f′(0) = 3·(−1)²·3 = 9

答案

f′(0) = 9

4.导数

答案: b = 4

切点和斜率

f(−1) = 1

f′(x) = −2x + 1 → f′(−1) = 3

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 1 − 3·(−1) = 4

答案

b = 4

5.积分

答案: I = 3.466

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = 5·ln x

代入上下限

I = 5·(ln 4 − ln 2) = 5·ln 2 = 3.466

答案

I = 3.466

6.积分

答案: I = 37.59

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

第一轮

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

第二轮

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

极限

12.18·(3.25) − 1·2 = 37.59

答案

I = 37.59

7.复数

答案: D (−2 + j2)

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的作用

|z/w| = |z|/0.5, arg(z/w) = arg z − (−90)°

该点

z/w = −2 + j2 → D

答案

D (−2 + j2)

8.复数

答案: C (3∠40°)

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模与辐角

|z| = 3

θ = 40°, 160°, −80°

该点

C = 3∠40°

答案

C (3∠40°)

9.微分方程

答案: y(0.5) = 3.688

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

特征根

(r + 1)(r + 5) = 0 → r = −1, −5

由初值求常数

A + B = 5, −1A − 5B = 0

A = 6.25, B = −1.25

求值

y(0.5) = 6.25·e^−0.5 + (−1.25)·e^−2.5 = 3.688

答案

y(0.5) = 3.688

10.微分方程

答案: y_max = 3.185

稳态值与根

y_ss = 2, r = −0.5 ± 3j

由初值求常数

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −0.5A + 3B = 0 → B = −0.3333

峰值

t = π/3 = 1.047

y_max = 2·(1 + e^−0.5·π/3) = 3.185

答案

y_max = 3.185

11.矩阵与行列式

答案: det A = −165

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = 20, M₁₂ = −14, M₁₃ = −29

代数余子式展开

det A = (−1)·20 − 0·(−14) + 5·(−29) = −165

答案

det A = −165

12.矩阵与行列式

答案: λ = 6

特征方程

λ² − (9)λ + (18) = 0

求解

λ = (9 ± √(9))/2 → λ = 3, 6

λ = 6

答案

λ = 6

13.向量：点积和叉积

答案: comp_b a = 1.136

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−5)·(−3) + (−1)·(−2) + (−2)·5 = 7

b 的长度

|b| = √((−3)² + (−2)² + 5²) = 6.164

标量投影

comp_b a = a·b/|b| = 7/6.164 = 1.136

答案

comp_b a = 1.136

14.向量：点积和叉积

答案: n̂_x = 0.6458

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 2·4 − 3·(−3) = 17

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 3·(−4) − 2·4 = −20

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 2·(−3) − 2·(−4) = 2

归一化

a × b 的 z 分量已经为正。

|a × b| = √(17² + (−20)² + 2²) = 26.32

n̂ = (17, −20, 2)/26.32 = (0.6458, −0.7597, 0.07597)

n̂_x = 0.6458

答案

n̂_x = 0.6458

15.概率

答案: N = 56

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(8, 5) = (8·7·6·5·4)/(5·4·3·2·1) = 56

答案

N = 56

16.概率

答案: P = 0.09375

二项分布公式

P(X = 1) = 6·0.5¹·0.5⁵ = 6·0.5·0.03125 = 0.09375

答案

P = 0.09375

17.描述统计

答案: s = 12.37

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 227/6 = 37.83

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−6.833)² + 15.17² + (−3.833)² + (−4.833)² + 15.17² + (−14.83)² = 764.8

标准差

s = √(764.8/5) = 12.37

答案

s = 12.37

18.描述统计

答案: z = 1.5

标准化

z = (100 − 70)/20 = 1.5

答案

z = 1.5

19.正态分布

答案: P = 0.1611

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 200 kg, σ_T = 0.5·√8 = 1.414 kg

标准化

z = (198.6 − 200)/1.414 = −0.99

概率

P = Φ(−0.99) = 0.1611

答案

P = 0.1611

20.正态分布

答案: x = 87.38 分

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

换算回 x

x = 100 + −0.8416·15 = 87.38 分

答案

x = 87.38 分

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