极限
- 直接代入
- 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
- 因式分解并约去
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共轭
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 无穷远处的极限
- 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
- 重要极限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- 洛必达法则
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
工程数学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
导数
- 幂法则
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 乘积法则
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商法则
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 链式法则
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 常用导数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
方法
- 识别结构：和、积、商还是复合。
- 对 x 的每个幂应用幂法则。
- 需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
- 化简，如有要求再代入该点求值。
积分
- 幂法则
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定积分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 常用积分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲线间的面积
- ∫ab (f − g) dx
方法
- 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
- 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
- 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
- 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。
复数
- 直角坐标形式
- z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
- 模与辐角
- |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
- 极坐标形式与指数形式
- z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
- 除法
- z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
- 乘积与商
- r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
- 棣莫弗定理
- (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
- n 次方根
- zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
- p² < 4q 的二次方程
- z = −p/2 ± j√(q − p²/4)
方法
- 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
- 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
- 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
- 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。
微分方程
- 指数增长/衰减
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- 半衰期
- k = ln 2 / t½
- 牛顿冷却定律
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- 积分因子
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- 混合槽
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
矩阵与行列式
- 2×2 行列式
- det = ad − bc
- 2×2 逆矩阵
- A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
- 产品
- (AB)ij = Σk AikBkj
- 特征值
- det(A − λI) = 0
- 克拉默法则
- xi = det(Ai)/det(A)
向量：点积和叉积
- 模
- |a| = √(ax² + ay² + az²)
- 单位向量
- û = a/|a|
- 由角度求分量
- Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
- 点积
- a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
- a 在 b 上的标量投影
- a·b/|b|
- 功
- W = F·d
- 叉积
- a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
- 面积
- 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
- 对 O 的力矩
- MO = r × F, r = A − O
- 平行六面体的体积
- V = |a·(b × c)|
方法
- 把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
- 求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
- 求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
- 求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
2练习题
1.极限中等
求极限 L = limx→∞ (−5x2 − 4x − 5)/(x2 + 4x + 8)。
f(x) = (−5x2 − 4x − 5)/(x2 + 4x + 8)x → ∞
L =
2.极限困难
求极限 L = limx→0 (e−x − 1 + x)/x²。
f(x) = (e−x − 1 + x)/x²x → 0
L =
3.导数中等
设 f(x) = x3·ex。求 f′(2)。
f(x) = x3·exx = 2
f′(2) =
4.导数困难
f(x) = 3x2 − 6 在 x = 1 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。
f(x) = 3x2 − 6x = 1
b =
5.积分中等
计算 I = ∫03 e−x dx。
f(x) = e−x[0, 3]
I =
6.积分困难
求抛物线 y = 1 − x² 与 x 轴之间区域的面积 A。
y = 1 − x²
A =
7.复数中等
求 z = −4 − j5 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间的主值。
z = −4 − j5
θ = °
8.复数困难
n = 2、w = 4∠0° 时，zⁿ = w 的根为 zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n)，k = 0, 1。求 z₀ 的实部。
w = 4∠0°n = 2k = 0
Re(z₀) =
9.微分方程中等
一杯 88 °C 的咖啡放在 19 °C 的房间里。 25 min 后其温度为 39 °C。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 从开始算起需要多长时间 t 才能达到 26 °C？
T0 = 88 °CTa = 19 °CT(25) = 39 °CT = 26 °C
t = min
10.微分方程困难
一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + y′ + 16.25y = 32.5，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求 y(0.25)；角度以弧度为单位。
y″ + y′ + 16.25y = 32.5y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.25) =
11.矩阵与行列式中等
对所示矩阵令 C = AB。求元素 c11（第 1 行，第 1 列）。
A = [−2 6; 3 2]B = [−6 3; −6 2]
c11 =
12.矩阵与行列式困难
解方程组 4x − 6y = 3 和 −5x − y = −8。求 x。
4x − 6y = 3−5x − y = −8
x =
13.向量：点积和叉积中等
求 a = (−4, 5, 4) 在 b = (2, 1, 5) 上的标量投影 compb a，也就是 a 在 b 方向上的分量。
a = (−4, 5, 4)b = (2, 1, 5)
compb a =
14.向量：点积和叉积困难
求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (0, 3, −2)、b = (1, −3, 5) 和 c = (−5, −2, 1)。
a = (0, 3, −2)b = (1, −3, 5)c = (−5, −2, 1)
V =
15.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.3, 0.25, 0.15, 0.3
σ =
16.概率困难
一份测试有 10 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.5，相互独立。恰好答对 3 题的概率 P 是多少？
n = 10p = 0.5k = 3
P =
17.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：31, 48, 14, 54, 22, 17。
n = 6
s =
18.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 5。数值高于 55 的比例 P 是多少？
μ = 50σ = 5x = 55
P =
19.正态分布中等
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 25.1 和 36.8 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 32σ = 6x1 = 25.1x2 = 36.8
P =
20.正态分布困难
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 95% 的数据低于它（第 95 百分位数）。
μ = 65σ = 10P = 95%
x = 分
3溶液
1.极限
答案: L = −5
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
除以最高次幂
(−5 + (−4)/x + (−5)/x2)/(1 + 4/x + 8/x2)
令 x → ∞
L = −5/1 = −5
答案
L = −5
次数相同时，极限为首项系数之比。
2.极限
答案: L = 0.5
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
第一次应用
(−1·e−x + 1)/(2x) → 0/0
第二次应用
1·e−x/2
代入 x = 0
L = 1·1/2 = 0.5
答案
L = 0.5
3.导数
答案: f′(2) = 147.8
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
乘积法则
f′(x) = u′v + uv′ = ex·(3x2 + 1·x3)
代入
f′(2) = 7.389·(12 + 8) = 147.8
答案
f′(2) = 147.8
4.导数
答案: b = −9
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
切点和斜率
f(1) = −3
f′(x) = 6x → f′(1) = 6
x = 0 处的切线值
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −3 − 6·1 = −9
答案
b = −9
5.积分
答案: I = 0.9502
定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。
原函数
F(x) = e−x/(−1)
代入上下限
I = (e−3 − 1)/(−1) = (0.04979 − 1)/(−1) = 0.9502
答案
I = 0.9502
6.积分
答案: A = 1.333
定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。
零点
1 − x² = 0 → x = ±1
积分
A = [1x − x³/3]−11 = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333
答案
A = 1.333
7.复数
答案: θ = −128.7 °
极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。
象限
a = −4, b = −5 → III
参考角
α = atan(5/4) = 51.34°
辐角
θ = −(180° − α) = −128.7°
答案
θ = −128.7°
极坐标形式为 z = 6.403∠−128.7°。
8.复数
答案: Re(z₀) = 2
棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。
根的模
41/2 = 2
根的辐角
θ₀ = (0° + 360°·0)/2 = 0°
直角坐标形式
z₀ = 2·(cos 0° + j sin 0°) = 2
Re(z₀) = 2
答案
Re(z₀) = 2
2 个根位于半径为 2 的圆上，彼此相隔 180°。
9.微分方程
答案: t = 46.19 min
一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·ekt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e∫p dx 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。
冷却常数
k = ln(69/20)/25 = 0.04953 min⁻¹
达到目标温度的时间
t = ln(69/7)/0.04953 = 46.19 min
答案
t = 46.19 min
10.微分方程
答案: y(0.25) = 0.8607
二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = ert：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·er₁t + B·er₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·ert（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 时，ωn 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。
稳态值与根
yss = 2, r = −0.5 ± 4j
由初值求常数
y(0) = 2 + A = 0 → A = −2
y′(0) = −0.5A + 4B = 0 → B = −0.25
求值
y(0.25) = 2·(1 − e−0.125(cos 1 + 0.125·sin 1)) = 0.8607
答案
y(0.25) = 0.8607
11.矩阵与行列式
答案: c11 = −24
矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。
行乘列
c11 = (−2)·(−6) + 6·(−6) = −24
答案
c11 = −24
12.矩阵与行列式
答案: x = 1.5
矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。
系数矩阵的行列式
det A = 4·(−1) − (−6)·(−5) = −34
替换 x 列
det Aₓ = 3·(−1) − (−6)·(−8) = −51
x = −51/(−34) = 1.5
答案
x = 1.5
y = 0.5
13.向量：点积和叉积
答案: compb a = 3.104
Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
点积
a·b = (−4)·2 + 5·1 + 4·5 = 17
b 的长度
|b| = √(2² + 1² + 5²) = 5.477
标量投影
compb a = a·b/|b| = 17/5.477 = 3.104
答案
compb a = 3.104
14.向量：点积和叉积
答案: V = 44
Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
叉积 b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = (−3)·1 − 5·(−2) = 7
(b × c)y = bzcx − bxcz = 5·(−5) − 1·1 = −26
(b × c)z = bxcy − bycx = 1·(−2) − (−3)·(−5) = −17
与 a 的点积
a·(b × c) = 0·7 + 3·(−26) + (−2)·(−17) = −44
V = |−44| = 44
答案
V = 44
15.概率
答案: σ = 12.03
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 10·0.3 + 20·0.25 + 30·0.15 + 40·0.3 = 24.5
平方的均值
E(X²) = 100·0.3 + 400·0.25 + 900·0.15 + 1600·0.3 = 745
方差
Var(X) = 745 − 24.5² = 144.8
σ = √144.8 = 12.03
答案
σ = 12.03
16.概率
答案: P = 0.1172
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 3) = 120·0.53·0.57 = 120·0.125·0.007813 = 0.1172
答案
P = 0.1172
17.描述统计
答案: s = 16.64
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 186/6 = 31
离差平方
Σ(x − x̄)² = 0² + 17² + (−17)² + 23² + (−9)² + (−14)² = 1384
标准差
s = √(1384/5) = 16.64
答案
s = 16.64
18.描述统计
答案: P = 0.1587
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1
标准正态分布表
Φ(1) = 0.8413
P = 1 − 0.8413 = 0.1587
答案
P = 0.1587
19.正态分布
答案: P = 0.6631
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (25.1 − 32)/6 = −1.15
z₂ = (36.8 − 32)/6 = 0.8
中间面积
P = Φ(0.8) − Φ(−1.15) = 0.7881 − 0.1251 = 0.6631
答案
P = 0.6631
20.正态分布
答案: x = 81.45 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.95 → z = 1.645
换算回 x
x = 65 + 1.645·10 = 81.45 分
答案
x = 81.45 分
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