工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (4x² − 6x − 7)/(4x² + x + 1)。

f(x) = (4x² − 6x − 7)/(4x² + x + 1)x → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (1 − cos 3x)/(2x²)，x 以弧度计。

f(x) = (1 − cos 3x)/(2x²)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x·sin(x)，x 以弧度计。求 f′(2)。

f(x) = x·sin(x)x = 2 rad

f′(2) =

4.导数困难

设 f(x) = x³ − 1.5x² − 6x。求局部极小值点的 x 坐标 x。

f(x) = x³ − 1.5x² − 6x

x =

5.积分中等

计算 I = ∫₀¹ e^2x dx。

f(x) = e^2x[0, 1]

I =

6.积分困难

求由 y = x² 和 y = x 围成区域的面积 A。

y = x²y = x

A =

7.复数中等

图中显示 z = 2 + j3。已知 w = 0.5∠−90°，点选表示 z/w 的点。

z = 2 + j3w = 0.5∠−90°

1A (−3 + j2)
2B (−6 + j4)
3C (6 − j4)
4D (4 + j6)

8.复数困难

n = 5、w = 32∠−90° 时，zⁿ = w 的根为 z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n)，k = 0, 1, …, 4。求 z₂ 的虚部。

w = 32∠−90°n = 5k = 2

Im(z₂) =

9.微分方程中等

一杯 93 °C 的咖啡放在 21 °C 的房间里。 25 min 后其温度为 27 °C。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。求常数 k，以 min⁻¹ 计。

T₀ = 93 °CT_a = 21 °CT(25) = 27 °C

k = min⁻¹

10.微分方程困难

求解 y′ + 2y = 2e^−t，y(0) = 0。求 y(1.5)。

y′ + 2y = 2e^−ty(0) = 0

y(1.5) =

11.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [4 1 −4; −2 −1 5; −5 −1 −3]

det A =

12.矩阵与行列式困难

求所示矩阵 A 的较大特征值 λ。

A = [0 4; −1 −5]

λ =

13.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (1, −5, 2) 与 b = (6, 1, 5) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (1, −5, 2)b = (6, 1, 5)

θ = °

14.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (1, 4, −5) 和 b = (4, 1, −2) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 y 分量 n̂_y。

a = (1, 4, −5)b = (4, 1, −2)n̂_z > 0

n̂_y =

15.概率中等

袋中有 6 个红球和 4 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

6 / 4

P =

16.概率困难

一局游戏的参与费用为 €2。你以概率 0.2 赢得 €6，以概率 0.05 赢得 €20；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €2€6: p = 0.2€20: p = 0.05

E(G) = €

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：21, 51, 10, 15, 33, 38, 40。

n = 7

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 15。数值低于 68.75 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 15x = 68.75

P =

19.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.0455。求 z，保留两位小数。

A = 0.0455

z =

20.正态分布困难

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的后 20% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 178 cmσ = 7 cm20%

x = cm

3溶液

1.极限

答案: L = 1

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

除以最高次幂

(4 + (−6)/x + (−7)/x²)/(4 + 1/x + 1/x²)

令 x → ∞

L = 4/4 = 1

答案

L = 1

次数相同时，极限为首项系数之比。

2.极限

答案: L = 2.25

第一次应用

3·sin 3x/(4x) → 0/0

第二次应用

9·cos 3x/4

代入 x = 0

L = 9/4 = 2.25

答案

L = 2.25

3.导数

答案: f′(2) = 0.077

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则与链式法则

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

代入

f′(2) = 0.9093 + 2·(−0.4161) = 0.077

答案

f′(2) = 0.077

4.导数

答案: x = 2

导数

f′(x) = 3x² − 3x − 6 = 3·(x² − x − 2)

解 f′(x) = 0

x = −1 或 x = 2

判断哪个是哪个

f″(x) = 6x − 3：在极大值处为负，在极小值处为正。

f″(−1) = −9, f″(2) = 9

x = 2

答案

x = 2

5.积分

答案: I = 3.195

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = e^2x/2

代入上下限

I = (e² − 1)/2 = (7.389 − 1)/2 = 3.195

答案

I = 3.195

6.积分

答案: A = 0.1667

交点

x² = x → x = 0, x = 1

对上减下积分

A = [0.5x² − 0.3333x³]₀¹ = 0.1667

答案

A = 0.1667

7.复数

答案: B (−6 + j4)

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的作用

|z/w| = |z|/0.5, arg(z/w) = arg z − (−90)°

该点

z/w = −6 + j4 → B

答案

B (−6 + j4)

8.复数

答案: Im(z₂) = 1.618

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模

32^1/5 = 2

根的辐角

θ₂ = (−90° + 360°·2)/5 = 126°

直角坐标形式

z₂ = 2·(cos 126° + j sin 126°) = −1.176 + j1.618

Im(z₂) = 1.618

答案

Im(z₂) = 1.618

5 个根位于半径为 2 的圆上，彼此相隔 72°。

9.微分方程

答案: k = 0.0994 min⁻¹

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

温差之比

e^−25k = 6/72

解出 k

k = ln(72/6)/25 = 0.0994 min⁻¹

答案

k = 0.0994 min⁻¹

10.微分方程

答案: y(1.5) = 0.3467

积分因子

μ = e^2t

(e^2ty)′ = 2e^t

通解

y = 2/1·e^−t + C·e^−2t = 2·e^−t + C·e^−2t

初始条件

0 = 2 + C → C = −2

求值

y(1.5) = 2·0.2231 + (−2)·0.04979 = 0.3467

答案

y(1.5) = 0.3467

11.矩阵与行列式

答案: det A = 13

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = 8, M₁₂ = 31, M₁₃ = −3

代数余子式展开

det A = 4·8 − 1·31 + (−4)·(−3) = 13

答案

det A = 13

12.矩阵与行列式

答案: λ = −1

特征方程

λ² − (−5)λ + (4) = 0

求解

λ = (−5 ± √(9))/2 → λ = −4, −1

λ = −1

答案

λ = −1

13.向量：点积和叉积

答案: θ = 75.22 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = 1·6 + (−5)·1 + 2·5 = 11

模

|a| = √(1² + (−5)² + 2²) = 5.477

|b| = √(6² + 1² + 5²) = 7.874

相角

cos θ = 11/(5.477·7.874) = 0.2551

θ = arccos(0.2551) = 75.22°

答案

θ = 75.22°

14.向量：点积和叉积

答案: n̂_y = 0.762

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 4·(−2) − (−5)·1 = −3

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−5)·4 − 1·(−2) = −18

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 1·1 − 4·4 = −15

归一化

a × b 的 z 分量为负，所以要用 −(a × b)。

|a × b| = √((−3)² + (−18)² + (−15)²) = 23.62

n̂ = −(−3, −18, −15)/23.62 = (0.127, 0.762, 0.635)

n̂_y = 0.762

答案

n̂_y = 0.762

15.概率

答案: P = 0.3333

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 0.3333

答案

P = 0.3333

16.概率

答案: E(G) = 0.2 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 4 (p = 0.2), 18 (p = 0.05), −2 (p = 0.75)

期望值

E(G) = 4·0.2 + 18·0.05 − 2·0.75 = 0.2 €

答案

E(G) = 0.2 €

正值表示平均而言你会赢钱。

17.描述统计

答案: s = 14.83

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 208/7 = 29.71

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−8.714)² + 21.29² + (−19.71)² + (−14.71)² + 3.286² + 8.286² + 10.29² = 1319

标准差

s = √(1319/6) = 14.83

答案

s = 14.83

18.描述统计

答案: P = 0.8944

标准化

z = 1.25

标准正态分布表

Φ(1.25) = 0.8944

P = 0.8944

答案

P = 0.8944

19.正态分布

答案: z = 1.69

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.0455 = 0.9545

反向查 z 表

在表中找到 0.9545，读出 z。

z = 1.69

答案

z = 1.69

20.正态分布

答案: x = 172.1 cm

左侧的面积

Φ(z) = 0.2

由表得到的 z

z ≈ −0.84

回到原来的单位

x = 178 − 0.84·7 = 172.1 cm

答案

x = 172.1 cm

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