工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (√(4x² + 7x) − 2x)。

f(x) = √(4x² + 7x) − 2xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (e^x − 1 − x)/x²。

f(x) = (e^x − 1 − x)/x²x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = (3x + 1)⁵。求 f′(−1)。

f(x) = (3x + 1)⁵x = −1

f′(−1) =

4.导数困难

设 f(x) = x³ + 1.5x² − 6x。求局部极小值点的 x 坐标 x。

f(x) = x³ + 1.5x² − 6x

x =

5.积分中等

计算 I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)¹ dx。

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 1]

I =

6.积分困难

求由 y = 0.5x² 和 y = x 围成区域的面积 A。

y = 0.5x²y = x

A =

7.复数中等

数 z = 3·e^j0.4 的角度以弧度为单位。求它的虚部 b。

r = 3θ = 0.4 rad

b =

8.复数困难

A–D 各点中恰有一个是 z⁴ = 81∠60° 的根。点选它。

w = 81∠60°n = 4

1A (1.5∠15°)
2B (3∠60°)
3C (3∠15°)
4D (3∠−15°)

9.微分方程中等

解 y″ + 4y′ + 4y = 0，其中 y(0) = 1，y′(0) = 0。求 y(1.5)。

y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 1y′(0) = 0

y(1.5) =

10.微分方程困难

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 4y′ + 29y = 290，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求 y(0.75)；角度以弧度为单位。

y″ + 4y′ + 29y = 290y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.75) =

11.矩阵与行列式中等

对所示矩阵令 C = AB。求元素 c₁₂（第 1 行，第 2 列）。

A = [5 6; −5 5]B = [−5 3; 1 4]

c₁₂ =

12.矩阵与行列式困难

求所示矩阵 A 的较大特征值 λ。

A = [3 1; 1 3]

λ =

13.向量：点积和叉积中等

求 a = (−2, −3, 5) 在 b = (6, 6, −4) 上的标量投影 comp_b a，也就是 a 在 b 方向上的分量。

a = (−2, −3, 5)b = (6, 6, −4)

comp_b a =

14.向量：点积和叉积困难

一个力 F = (−60, 40, 30) N 作用在点 A(−1, −2, −4)。坐标单位为米。求该力对点 O(3, −1, 1) 的力矩的 z 分量 M_z。

F = (−60, 40, 30) NA(−1, −2, −4) mO(3, −1, 1) m

M_z = N·m

15.概率中等

一颗均匀骰子掷 8 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 8

P =

16.概率困难

一局游戏的参与费用为 €2。你以概率 0.15 赢得 €6，以概率 0.05 赢得 €100；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €2€6: p = 0.15€100: p = 0.05

E(G) = €

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：28, 27, 30, 17, 21, 55。

n = 6

s =

18.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 70，标准差为 15。求成绩 52 的 z 分数 z。

μ = 70σ = 15x = 52

z =

19.正态分布中等

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。介于 76.75 和 122.5 分之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 100σ = 15x₁ = 76.75x₂ = 122.5

P =

20.正态分布困难

配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。求数值 x，使得有 90% 的数据低于它（第 90 百分位数）。

μ = 32σ = 6P = 90%

x = min

3溶液

1.极限

答案: L = 1.75

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

乘以共轭式

f(x) = 7x/(√(4x² + 7x) + 2x)

除以 x

f(x) = 7/(√(4 + 7/x) + 2)

令 x → ∞

L = 7/(2 + 2) = 1.75

答案

L = 1.75

2.极限

答案: L = 0.5

第一次应用

(1·e^x − 1)/(2x) → 0/0

第二次应用

1·e^x/2

代入 x = 0

L = 1·1/2 = 0.5

答案

L = 0.5

3.导数

答案: f′(−1) = 240

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

链式法则

f′(x) = 5·(3x + 1)⁴·3

代入

f′(−1) = 5·(−2)⁴·3 = 240

答案

f′(−1) = 240

4.导数

答案: x = 1

导数

f′(x) = 3x² + 3x − 6 = 3·(x² + x − 2)

解 f′(x) = 0

x = −2 或 x = 1

判断哪个是哪个

f″(x) = 6x + 3：在极大值处为负，在极小值处为正。

f″(−2) = −9, f″(1) = 9

x = 1

答案

x = 1

5.积分

答案: I = 1.5

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

换元

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u¹ du

积分并代入上下限

I = [u²/2]₁² = (4 − 1)/2 = 1.5

答案

I = 1.5

6.积分

答案: A = 0.6667

交点

0.5x² = x → x = 0, x = 2

对上减下积分

A = [0.5x² − 0.1667x³]₀² = 0.6667

答案

A = 0.6667

7.复数

答案: b = 1.168

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

欧拉公式

z = 3·(cos 0.4 + j sin 0.4)

分量（弧度）

a = 3·cos 0.4 = 2.763

b = 3·sin 0.4 = 1.168

b = 1.168

答案

b = 1.168

8.复数

答案: C (3∠15°)

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模与辐角

|z| = 3

θ = 15°, 105°, −165°, −75°

该点

C = 3∠15°

答案

C (3∠15°)

9.微分方程

答案: y(1.5) = 0.1991

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

二重根

(r + 2)² = 0 → r = −2

常数

A = y(0) = 1

y′(0) = B − 2A → B = 0 + 2 = 2

求值

y(1.5) = (1 + 2·1.5)·e⁻³ = 0.1991

答案

y(1.5) = 0.1991

10.微分方程

答案: y(0.75) = 12.34

稳态值与根

y_ss = 10, r = −2 ± 5j

由初值求常数

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10

y′(0) = −2A + 5B = 0 → B = −4

求值

y(0.75) = 10·(1 − e^−1.5(cos 3.75 + 0.4·sin 3.75)) = 12.34

答案

y(0.75) = 12.34

11.矩阵与行列式

答案: c₁₂ = 39

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

行乘列

c₁₂ = 5·3 + 6·4 = 39

答案

c₁₂ = 39

12.矩阵与行列式

答案: λ = 4

特征方程

λ² − (6)λ + (8) = 0

求解

λ = (6 ± √(4))/2 → λ = 2, 4

λ = 4

答案

λ = 4

13.向量：点积和叉积

答案: comp_b a = −5.33

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−2)·6 + (−3)·6 + 5·(−4) = −50

b 的长度

|b| = √(6² + 6² + (−4)²) = 9.381

标量投影

comp_b a = a·b/|b| = −50/9.381 = −5.33

答案

comp_b a = −5.33

为负：a 有一个与 b 方向相反的分量。

14.向量：点积和叉积

答案: M_z = −220 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (−1, −2, −4) − (3, −1, 1) = (−4, −1, −5) m

力矩 M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−1)·30 − (−5)·40 = 170 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−5)·(−60) − (−4)·30 = 420 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−4)·40 − (−1)·(−60) = −220 N·m

所求分量

M_z = −220 N·m

答案

M_z = −220 N·m

15.概率

答案: P = 0.7674

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)⁸ = 0.2326

P = 1 − 0.2326 = 0.7674

答案

P = 0.7674

16.概率

答案: E(G) = 3.9 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 4 (p = 0.15), 98 (p = 0.05), −2 (p = 0.8)

期望值

E(G) = 4·0.15 + 98·0.05 − 2·0.8 = 3.9 €

答案

E(G) = 3.9 €

正值表示平均而言你会赢钱。

17.描述统计

答案: s = 13.32

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 178/6 = 29.67

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−1.667)² + (−2.667)² + 0.3333² + (−12.67)² + (−8.667)² + 25.33² = 887.3

标准差

s = √(887.3/5) = 13.32

答案

s = 13.32

18.描述统计

答案: z = −1.2

标准化

z = (52 − 70)/15 = −1.2

答案

z = −1.2

19.正态分布

答案: P = 0.8726

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (76.75 − 100)/15 = −1.55

z₂ = (122.5 − 100)/15 = 1.5

中间面积

P = Φ(1.5) − Φ(−1.55) = 0.9332 − 0.06057 = 0.8726

答案

P = 0.8726

20.正态分布

答案: x = 39.69 min

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

换算回 x

x = 32 + 1.282·6 = 39.69 min

答案

x = 39.69 min

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