工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (√(x² − 7x) − x)。

f(x) = √(x² − 7x) − xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 ln(1 + 2x)/sin(3x)，x 以弧度计。

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(3x)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x·sin(3x)，x 以弧度计。求 f′(0.5)。

f(x) = x·sin(3x)x = 0.5 rad

f′(0.5) =

4.导数困难

f(x) = −x² − x − 1 在 x = 2 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = −x² − x − 1x = 2

b =

5.积分中等

计算 I = ∫₀³ e^−x dx。

f(x) = e^−x[0, 3]

I =

6.积分困难

求由 y = x² 和 y = 3x 围成区域的面积 A。

y = x²y = 3x

A =

7.复数中等

把 z = 12∠−155° 写成直角坐标形式 a + jb，并给出实部 a。

r = 12θ = −155°

a =

8.复数困难

解 z² + 5z + 31.25 = 0。根为 a ± jb；求实部 a。

p = 5q = 31.25

a =

9.微分方程中等

一个 340 °C 的钢锻件放在 28 °C 的车间里冷却。 41 min 后其温度为 119 °C。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。从开始算起需要多长时间 t 才能达到 185 °C？

T₀ = 340 °CT_a = 28 °CT(41) = 119 °CT = 185 °C

t = min

10.微分方程困难

一个水箱装有 1000 L 水，其中溶有 20 kg 盐。每升含盐 0.2 kg 的盐水以 5 L/min 流入，混合均匀的溶液以相同流量流出。 60 min 后水箱中有多少盐 m？

V = 1000 Lm₀ = 20 kgc = 0.2 kg/Lr = 5 L/min

m = kg

11.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [3 5 5; −3 3 −2; −5 3 4]

det A =

12.矩阵与行列式困难

求所示矩阵 A 的较大特征值 λ。

A = [−1 −1; −7 5]

λ =

13.向量：点积和叉积中等

求使向量 a = (2, 5, −1) 与 b = (3, k, −3) 垂直的 k 的值。

a = (2, 5, −1)b = (3, k, −3)

k =

14.向量：点积和叉积困难

求顶点为 A(0, −1, −4)、B(−1, −4, −4)、C(−2, 4, −4) 的三角形的面积 A。坐标单位为米。

A(0, −1, −4)B(−1, −4, −4)C(−2, 4, −4)

A = m²

15.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.35, 0.1, 0.2, 0.35

Var(X) =

16.概率困难

一局游戏的参与费用为 €10。你以概率 0.25 赢得 €40，以概率 0.05 赢得 €500；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €10€40: p = 0.25€500: p = 0.05

E(G) = €

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：51, 13, 30, 32, 52, 28。

n = 6

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 15。数值高于 109 的比例 P 是多少？

μ = 100σ = 15x = 109

P =

19.正态分布中等

螺栓的质量相互独立，服从均值 40 g、标准差 1.2 g 的正态分布。求其中 9 个的总质量超过 358.2 g 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 9> 358.2 g

P =

20.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 95% 的数据低于它（第 95 百分位数）。

μ = 100σ = 15P = 95%

x = 分

3溶液

1.极限

答案: L = −3.5

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

乘以共轭式

f(x) = −7x/(√(x² − 7x) + x)

除以 x

f(x) = −7/(√(1 + (−7)/x) + 1)

令 x → ∞

L = −7/(1 + 1) = −3.5

答案

L = −3.5

2.极限

答案: L = 0.6667

洛必达法则

L = lim_x→0 [2/(1 + 2x)]/[3·cos 3x]

代入 x = 0

L = 2/3 = 0.6667

答案

L = 0.6667

3.导数

答案: f′(0.5) = 1.104

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则与链式法则

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

代入

f′(0.5) = 0.9975 + 1.5·0.07074 = 1.104

答案

f′(0.5) = 1.104

4.导数

答案: b = 3

切点和斜率

f(2) = −7

f′(x) = −2x − 1 → f′(2) = −5

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −7 − (−5)·2 = 3

答案

b = 3

5.积分

答案: I = 0.9502

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = e^−x/(−1)

代入上下限

I = (e⁻³ − 1)/(−1) = (0.04979 − 1)/(−1) = 0.9502

答案

I = 0.9502

6.积分

答案: A = 4.5

交点

x² = 3x → x = 0, x = 3

对上减下积分

A = [1.5x² − 0.3333x³]₀³ = 4.5

答案

A = 4.5

7.复数

答案: a = −10.88

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

分量

a = 12·cos(−155°) = −10.88

b = 12·sin(−155°) = −5.071

直角坐标形式

z = −10.88 − j5.071

a = −10.88

答案

a = −10.88

8.复数

答案: a = −2.5

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

判别式

p² − 4q = 25 − 125 = −100 < 0

求根公式

z = (−5 ± j√100)/2 = −2.5 + j5, −2.5 − j5

答案

a = −2.5

答案

a = −2.5

9.微分方程

答案: t = 22.85 min

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却常数

k = ln(312/91)/41 = 0.03005 min⁻¹

达到目标温度的时间

t = ln(312/157)/0.03005 = 22.85 min

答案

t = 22.85 min

10.微分方程

答案: m = 66.65 kg

列方程

dm/dt = 5·0.2 − (5/1000)·m = 1 − 0.005·m

求解

积分因子为 e^rt/V；解趋近于平衡值 c·V。

m(t) = 200 + (−180)·e^−t/200

代入 t

m(60) = 200 + (−180)·0.7408 = 66.65 kg

答案

m = 66.65 kg

11.矩阵与行列式

答案: det A = 194

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = 18, M₁₂ = −22, M₁₃ = 6

代数余子式展开

det A = 3·18 − 5·(−22) + 5·6 = 194

答案

det A = 194

12.矩阵与行列式

答案: λ = 6

特征方程

λ² − (4)λ + (−12) = 0

求解

λ = (4 ± √(64))/2 → λ = −2, 6

λ = 6

答案

λ = 6

13.向量：点积和叉积

答案: k = −1.8

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积等于零

a·b = 2·3 + 5·k + (−1)·(−3) = 0

9 + 5·k = 0

解出 k

k = −9/5 = −1.8

答案

k = −1.8

14.向量：点积和叉积

答案: A = 5.5 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

边向量

AB = B − A = (−1, −3, 0)

AC = C − A = (−2, 5, 0)

叉积

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−3)·0 − 0·5 = 0

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 0·(−2) − (−1)·0 = 0

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−1)·5 − (−3)·(−2) = −11

|AB × AC| = √(0² + 0² + (−11)²) = 11

三角形的面积

A = ½·11 = 5.5 m²

答案

A = 5.5 m²

15.概率

答案: Var(X) = 1.648

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.35 + 1·0.1 + 2·0.2 + 3·0.35 = 1.55

平方的均值

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.1 + 4·0.2 + 9·0.35 = 4.05

方差

Var(X) = 4.05 − 1.55² = 1.648

答案

Var(X) = 1.648

16.概率

答案: E(G) = 25 €

净结果

G: 30 (p = 0.25), 490 (p = 0.05), −10 (p = 0.7)

期望值

E(G) = 30·0.25 + 490·0.05 − 10·0.7 = 25 €

答案

E(G) = 25 €

正值表示平均而言你会赢钱。

17.描述统计

答案: s = 14.9

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 206/6 = 34.33

离差平方

Σ(x − x̄)² = 16.67² + (−21.33)² + (−4.333)² + (−2.333)² + 17.67² + (−6.333)² = 1109

标准差

s = √(1109/5) = 14.9

答案

s = 14.9

18.描述统计

答案: P = 0.2743

标准化

z = 0.6

标准正态分布表

Φ(0.6) = 0.7257

P = 1 − 0.7257 = 0.2743

答案

P = 0.2743

19.正态分布

答案: P = 0.6915

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 360 g, σ_T = 1.2·√9 = 3.6 g

标准化

z = (358.2 − 360)/3.6 = −0.5

概率

P = 1 − Φ(−0.5) = 0.6915

答案

P = 0.6915

20.正态分布

答案: x = 124.7 分

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.95 → z = 1.645

换算回 x

x = 100 + 1.645·15 = 124.67 分

答案

x = 124.67 分

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