工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入
先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限
除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
洛必达法则
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则
(uv)′ = u′v + uv′
商法则
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

  1. 识别结构：和、积、商还是复合。
  2. 对 x 的每个幂应用幂法则。
  3. 需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
  4. 化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分
∫ab f dx = F(b) − F(a)
常用积分
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积
∫ab (f − g) dx

方法

  1. 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
  2. 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
  3. 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
  4. 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减
dy/dt = ky → y = y0ekt
半衰期
k = ln 2 / t½
牛顿冷却定律
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
积分因子
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
混合槽
dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式
det = ad − bc
2×2 逆矩阵
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品
(AB)ij = Σk AikBkj
特征值
det(A − λI) = 0
克拉默法则
xi = det(Ai)/det(A)

向量：点积和叉积

模
|a| = √(ax² + ay² + az²)
单位向量
û = a/|a|
由角度求分量
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
点积
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影
a·b/|b|
功
W = F·d
叉积
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
面积
平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩
MO = r × F, r = A − O
平行六面体的体积
V = |a·(b × c)|

方法

  1. 把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
  2. 求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
  3. 求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
  4. 求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件
P(not A) = 1 − P(A)
加法公式
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

描述统计

平均数
x̄ = Σx/n
样本标准差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数
排序后数据的中间值
z 分数
z = (x − μ)/σ
正态分布
68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数
z = (x − μ)/σ
小于 x
P(X < x) = Φ(z)
大于 x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间
Φ(z2) − Φ(z1)
百分位数
x = μ + z·σ

方法

  1. 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
  2. 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
  3. 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
  4. 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等
xyy = L

求极限 L = limx→∞ (√(x2 − 3x) − x)。

f(x) = √(x2 − 3x) − xx → ∞
L =
2.极限困难
xyx = 0

求极限 L = limx→0 (e1.5x − 1 − 1.5x)/x²。

f(x) = (e1.5x − 1 − 1.5x)/x²x → 0
L =
3.导数中等
xyx = 1

设 f(x) = x·e−0.5x。求 f′(1)。

f(x) = x·e−0.5xx = 1
f′(1) =
4.导数困难
xyx = 2

f(x) = −x2 − 5x + 2 在 x = 2 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = −x2 − 5x + 2x = 2
b =
5.积分中等
xy01

计算 I = ∫01 2x·(x² + 1)2 dx。

f(x) = 2x·(x² + 1)2[0, 1]
I =
6.积分困难
xyy = 2x2​y = 2x

求由 y = 2x2 和 y = 2x 围成区域的面积 A。

y = 2x2y = 2x
A =
7.复数中等
ReIm55−5−5θz

求 z = −5 + j7 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间的主值。

z = −5 + j7
θ = °
8.复数困难
ReIm22−2−244−4−4z₁z₂

方程 z² + 5z + 22.25 = 0 有两个复根。求它们的模 |z|。

p = 5q = 22.25
|z| =
9.微分方程中等
t (min)T (°C)27Ta​T = ?

一杯 80 °C 的咖啡放在 18 °C 的房间里。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 已知 k = 0.03 min⁻¹，求 27 min 后的温度 T。

T0 = 80 °CTa = 18 °Ck = 0.03 min⁻¹t = 27 min
T = °C
10.微分方程困难
tyK = 10y(0.5) = ?

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 3y′ + 11.25y = 112.5，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求 y(0.5)；角度以弧度为单位。

y″ + 3y′ + 11.25y = 112.5y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
11.矩阵与行列式中等
A =251−351−1−55

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [2 5 1; −3 5 1; −1 −5 5]
det A =
12.矩阵与行列式困难
A =−31−12b =−1−10

解方程组 −3x + y = −1 和 −x + 2y = −10。求 x。

−3x + y = −1−x + 2y = −10
x =
13.向量：点积和叉积中等
xyzab

求使向量 a = (−5, −5, 1) 与 b = (k, 2, 5) 垂直的 k 的值。

a = (−5, −5, 1)b = (k, 2, 5)
k =
14.向量：点积和叉积困难
xyzrFOA

一个力 F = (30, 30, −10) N 作用在点 A(1, −4, −2)。坐标单位为米。 求该力对 点 O(1, −1, 2) 的力矩的 y 分量 My。

F = (30, 30, −10) NA(1, −4, −2) mO(1, −1, 2) m
My = N·m
15.概率中等
红球: 5蓝球: 4

袋中有 5 个红球和 4 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

5 / 4
P =
16.概率困难
n = 12, p = 0.5: P(X = 5) = ?k0123456789101112

一份测试有 12 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.5，相互独立。恰好答对 5 题的概率 P 是多少？

n = 12p = 0.5k = 5
P =
17.描述统计中等
152025303540455055

求数据的样本标准差 s：35, 12, 51, 27, 58, 51。

n = 6
s =
18.描述统计困难
z −2−1012

某量服从正态分布，平均数为 60，标准差为 20。数值低于 72 的比例 P 是多少？

μ = 60σ = 20x = 72
P =
19.正态分布中等
−3−2−10123z−z 与 z 之间的阴影面积 = 0.9090

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.9090。求 z，保留两位小数。

A = 0.9090
z =
20.正态分布困难
35455565758595分底部 75%

考试成绩 服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的后 75% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 65 分σ = 10 分75%
x = 分

3溶液

1.极限

答案: L = −1.5

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

乘以共轭式

f(x) = −3x/(√(x2 − 3x) + x)

除以 x

f(x) = −3/(√(1 + (−3)/x) + 1)

令 x → ∞

L = −3/(1 + 1) = −1.5

答案

L = −1.5
2.极限

答案: L = 1.125

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

第一次应用

(1.5·e1.5x − 1.5)/(2x) → 0/0

第二次应用

2.25·e1.5x/2

代入 x = 0

L = 2.25·1/2 = 1.125

答案

L = 1.125
3.导数

答案: f′(1) = 0.3033

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则

f′(x) = u′v + uv′ = e−0.5x·(1 + (−0.5)·x)

代入

f′(1) = 0.6065·(1 + (−0.5)) = 0.3033

答案

f′(1) = 0.3033
4.导数

答案: b = 6

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

切点和斜率

f(2) = −12
f′(x) = −2x − 5 → f′(2) = −9

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −12 − (−9)·2 = 6

答案

b = 6
5.积分

答案: I = 2.333

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

换元

u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫12 u2 du

积分并代入上下限

I = [u3/3]12 = (8 − 1)/3 = 2.333

答案

I = 2.333
6.积分

答案: A = 0.3333

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

交点

2x2 = 2x → x = 0, x = 1

对上减下积分

A = [x2 − 0.6667x3]01 = 0.3333

答案

A = 0.3333
7.复数

答案: θ = 125.5 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

象限

a = −5, b = 7 → II

参考角

α = atan(7/5) = 54.46°

辐角

θ = 180° − α = 125.5°

答案

θ = 125.5°

极坐标形式为 z = 8.602∠125.5°。

8.复数

答案: |z| = 4.717

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

判别式

p² − 4q = 25 − 89 = −64 < 0

求根公式

z = (−5 ± j√64)/2 = −2.5 + j4, −2.5 − j4

答案

|z| = √((−2.5)² + 4²) = √22.25 = 4.717

答案

|z| = 4.717
9.微分方程

答案: T = 45.58 °C

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·ekt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e∫p dx 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却定律的解

T(t) = 18 + 62·e−0.03t

代入 t

T(27) = 18 + 62·0.4449 = 45.58 °C

答案

T = 45.58 °C
10.微分方程

答案: y(0.5) = 7.31

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = ert：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·er₁t + B·er₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·ert（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 时，ωn 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

稳态值与根

yss = 10, r = −1.5 ± 3j

由初值求常数

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10
y′(0) = −1.5A + 3B = 0 → B = −5

求值

y(0.5) = 10·(1 − e−0.75(cos 1.5 + 0.5·sin 1.5)) = 7.31

答案

y(0.5) = 7.31
11.矩阵与行列式

答案: det A = 150

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = 30, M₁₂ = −14, M₁₃ = 20

代数余子式展开

det A = 2·30 − 5·(−14) + 1·20 = 150

答案

det A = 150
12.矩阵与行列式

答案: x = −1.6

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

系数矩阵的行列式

det A = (−3)·2 − 1·(−1) = −5

替换 x 列

det Aₓ = (−1)·2 − 1·(−10) = 8
x = 8/(−5) = −1.6

答案

x = −1.6
y = −5.8
13.向量：点积和叉积

答案: k = −1

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积等于零

a·b = (−5)·k + (−5)·2 + 1·5 = 0
−5 + (−5)·k = 0

解出 k

k = −(−5)/(−5) = −1

答案

k = −1
14.向量：点积和叉积

答案: My = −120 N·m

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (1, −4, −2) − (1, −1, 2) = (0, −3, −4) m

力矩 M = r × F

(r × F)x = ryFz − rzFy = (−3)·(−10) − (−4)·30 = 150 N·m
(r × F)y = rzFx − rxFz = (−4)·30 − 0·(−10) = −120 N·m
(r × F)z = rxFy − ryFx = 0·30 − (−3)·30 = 90 N·m

所求分量

My = −120 N·m

答案

My = −120 N·m
15.概率

答案: P = 0.2778

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 5/9 · 4/8 = 20/72 = 0.2778

答案

P = 0.2778
16.概率

答案: P = 0.1934

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

二项分布公式

P(X = 5) = 792·0.55·0.57 = 792·0.03125·0.007813 = 0.1934

答案

P = 0.1934
17.描述统计

答案: s = 17.54

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 234/6 = 39

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−4)² + (−27)² + 12² + (−12)² + 19² + 12² = 1538

标准差

s = √(1538/5) = 17.54

答案

s = 17.54
18.描述统计

答案: P = 0.7257

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

标准化

z = 0.6

标准正态分布表

Φ(0.6) = 0.7257
P = 0.7257

答案

P = 0.7257
19.正态分布

答案: z = 1.69

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.9090)/2 = 0.9545

反向查 z 表

在表中找到 0.9545，读出 z。

z = 1.69

答案

z = 1.69
20.正态分布

答案: x = 71.7 分

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.75

由表得到的 z

z ≈ 0.67

回到原来的单位

x = 65 + 0.67·10 = 71.7 分

答案

x = 71.7 分

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