工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (−5x² − 4x − 1)/(4x² + 3x + 7)。

f(x) = (−5x² − 4x − 1)/(4x² + 3x + 7)x → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (e^2x − 1 − 2x)/x²。

f(x) = (e^2x − 1 − 2x)/x²x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = (2x + 5)⁴。求 f′(−1)。

f(x) = (2x + 5)⁴x = −1

f′(−1) =

4.导数困难

设 f(x) = x³ − 3x + 1。求局部极小值点的 x 坐标 x。

f(x) = x³ − 3x + 1

x =

5.积分中等

计算 I = ∫₁⁵ 1/x dx。

f(x) = 1/x[1, 5]

I =

6.积分困难

求由 y = x² 和 y = 2x 围成区域的面积 A。

y = x²y = 2x

A =

7.复数中等

图中显示 z = 4 − j。已知 w = 2∠−90°，点选表示 z·w 的点。

z = 4 − jw = 2∠−90°

1A (2 + j8)
2B (−1 − j4)
3C (−2 − j8)
4D (8 − j2)

8.复数困难

A–D 各点中恰有一个是 z³ = 8∠180° 的根。点选它。

w = 8∠180°n = 3

1A (2∠−120°)
2B (3.6∠−120°)
3C (2∠180°)
4D (2∠−150°)

9.微分方程中等

解 y″ + 6y′ + 9y = 0，其中 y(0) = 1，y′(0) = 1。求 y(1.5)。

y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 1y′(0) = 1

y(1.5) =

10.微分方程困难

求解初值问题 y′ + y/x = x，x > 0，y(1) = −3。求 y(3)。

y′ + y/x = xy(1) = −3

y(3) =

11.矩阵与行列式中等

对所示矩阵令 C = AB。求元素 c₁₂（第 1 行，第 2 列）。

A = [6 −1; 1 −3]B = [3 3; −2 −1]

c₁₂ =

12.矩阵与行列式困难

解方程组 −4x − 2y = 10 和 2x − 6y = −7。求 x。

−4x − 2y = 102x − 6y = −7

x =

13.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (−4, −2, −5) 与 b = (−1, 1, −5) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (−4, −2, −5)b = (−1, 1, −5)

θ = °

14.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (3, 0, 1) 和 b = (−2, 3, −2) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 x 分量 n̂_x。

a = (3, 0, 1)b = (−2, 3, −2)n̂_z > 0

n̂_x =

15.概率中等

从 13 人中选出 3 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 13k = 3

N =

16.概率困难

一份测试有 6 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.4，相互独立。恰好答对 2 题的概率 P 是多少？

n = 6p = 0.4k = 2

P =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：34, 31, 16, 19, 54。

n = 5

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 12。数值低于 26 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 12x = 26

P =

19.正态分布中等

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。介于 70.75 和 107.5 分之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 100σ = 15x₁ = 70.75x₂ = 107.5

P =

20.正态分布困难

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。求数值 x，使得有 90% 的数据低于它（第 90 百分位数）。

μ = 178σ = 7P = 90%

x = cm

3溶液

1.极限

答案: L = −1.25

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

除以最高次幂

(−5 + (−4)/x + (−1)/x²)/(4 + 3/x + 7/x²)

令 x → ∞

L = −5/4 = −1.25

答案

L = −1.25

次数相同时，极限为首项系数之比。

2.极限

答案: L = 2

第一次应用

(2·e^2x − 2)/(2x) → 0/0

第二次应用

4·e^2x/2

代入 x = 0

L = 4·1/2 = 2

答案

L = 2

3.导数

答案: f′(−1) = 216

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

链式法则

f′(x) = 4·(2x + 5)³·2

代入

f′(−1) = 4·3³·2 = 216

答案

f′(−1) = 216

4.导数

答案: x = 1

导数

f′(x) = 3x² − 3 = 3·(x² − 1)

解 f′(x) = 0

x = −1 或 x = 1

判断哪个是哪个

f″(x) = 6x：在极大值处为负，在极小值处为正。

f″(−1) = −6, f″(1) = 6

x = 1

答案

x = 1

5.积分

答案: I = 1.609

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = ln x

代入上下限

I = (ln 5 − ln 1) = ln 5 = 1.609

答案

I = 1.609

6.积分

答案: A = 1.333

交点

x² = 2x → x = 0, x = 2

对上减下积分

A = [x² − 0.3333x³]₀² = 1.333

答案

A = 1.333

7.复数

答案: C (−2 − j8)

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的作用

|z·w| = 2·|z|, arg(z·w) = arg z + (−90)°

该点

z·w = −2 − j8 → C

答案

C (−2 − j8)

8.复数

答案: C (2∠180°)

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模与辐角

|z| = 2

θ = 60°, 180°, −60°

该点

C = 2∠180°

答案

C (2∠180°)

9.微分方程

答案: y(1.5) = 0.07776

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

二重根

(r + 3)² = 0 → r = −3

常数

A = y(0) = 1

y′(0) = B − 3A → B = 1 + 3 = 4

求值

y(1.5) = (1 + 4·1.5)·e^−4.5 = 0.07776

答案

y(1.5) = 0.07776

10.微分方程

答案: y(3) = 1.889

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

积分因子

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

积分

(x¹y)′ = x² → x¹y = 1x³/3 + C

初始条件

−3 = 1/3 + C → C = −3.333

求值

y(3) = (1·3³/3 + (−3.333))/3¹ = 1.889

答案

y(3) = 1.889

11.矩阵与行列式

答案: c₁₂ = 19

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

行乘列

c₁₂ = 6·3 + (−1)·(−1) = 19

答案

c₁₂ = 19

12.矩阵与行列式

答案: x = −2.643

系数矩阵的行列式

det A = (−4)·(−6) − (−2)·2 = 28

替换 x 列

det Aₓ = 10·(−6) − (−2)·(−7) = −74

x = −74/28 = −2.643

答案

x = −2.643

y = 0.2857

13.向量：点积和叉积

答案: θ = 39.23 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−4)·(−1) + (−2)·1 + (−5)·(−5) = 27

模

|a| = √((−4)² + (−2)² + (−5)²) = 6.708

|b| = √((−1)² + 1² + (−5)²) = 5.196

相角

cos θ = 27/(6.708·5.196) = 0.7746

θ = arccos(0.7746) = 39.23°

答案

θ = 39.23°

14.向量：点积和叉积

答案: n̂_x = −0.2914

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 0·(−2) − 1·3 = −3

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 1·(−2) − 3·(−2) = 4

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 3·3 − 0·(−2) = 9

归一化

a × b 的 z 分量已经为正。

|a × b| = √((−3)² + 4² + 9²) = 10.3

n̂ = (−3, 4, 9)/10.3 = (−0.2914, 0.3885, 0.8742)

n̂_x = −0.2914

答案

n̂_x = −0.2914

15.概率

答案: N = 286

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(13, 3) = (13·12·11)/(3·2·1) = 286

答案

N = 286

16.概率

答案: P = 0.311

二项分布公式

P(X = 2) = 15·0.4²·0.6⁴ = 15·0.16·0.1296 = 0.311

答案

P = 0.311

17.描述统计

答案: s = 15.06

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 154/5 = 30.8

离差平方

Σ(x − x̄)² = 3.2² + 0.2² + (−14.8)² + (−11.8)² + 23.2² = 906.8

标准差

s = √(906.8/4) = 15.06

答案

s = 15.06

18.描述统计

答案: P = 0.02275

标准化

z = −2

标准正态分布表

Φ(−2) = 0.02275

P = 0.02275

答案

P = 0.02275

19.正态分布

答案: P = 0.6659

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (70.75 − 100)/15 = −1.95

z₂ = (107.5 − 100)/15 = 0.5

中间面积

P = Φ(0.5) − Φ(−1.95) = 0.6915 − 0.02559 = 0.6659

答案

P = 0.6659

20.正态分布

答案: x = 187 cm

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

换算回 x

x = 178 + 1.282·7 = 186.97 cm

答案

x = 186.97 cm

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