工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (√(x² − 9x) − x)。

f(x) = √(x² − 9x) − xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (1 − cos 4x)/(2x²)，x 以弧度计。

f(x) = (1 − cos 4x)/(2x²)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = (−2x + 3)⁵。求 f′(−1)。

f(x) = (−2x + 3)⁵x = −1

f′(−1) =

4.导数困难

f(x) = x² + 2x + 6 在 x = 3 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = x² + 2x + 6x = 3

b =

5.积分中等

计算 I = ∫₁³ 4/x dx。

f(x) = 4/x[1, 3]

I =

6.积分困难

计算 I = ∫₀³ x²·eˣ dx。

∫₀³ x²eˣ dx

I =

7.复数中等

数 z = 3·e^j2.8 的角度以弧度为单位。求它的虚部 b。

r = 3θ = 2.8 rad

b =

8.复数困难

解 z² + 3z + 8.5 = 0。根为 a ± jb；求实部 a。

p = 3q = 8.5

a =

9.微分方程中等

解 y″ + 5y′ + 4y = 0，其中 y(0) = 3，y′(0) = 0。求 y(1)。

y″ + 5y′ + 4y = 0y(0) = 3y′(0) = 0

y(1) =

10.微分方程困难

一个水箱装有 400 L 水，其中溶有 5 kg 盐。每升含盐 0.2 kg 的盐水以 2 L/min 流入，混合均匀的溶液以相同流量流出。 70 min 后水箱中有多少盐 m？

V = 400 Lm₀ = 5 kgc = 0.2 kg/Lr = 2 L/min

m = kg

11.矩阵与行列式中等

对所示矩阵令 C = AB。求元素 c₁₂（第 1 行，第 2 列）。

A = [−3 5; 4 −5]B = [−4 5; −5 −2]

c₁₂ =

12.矩阵与行列式困难

求所示矩阵 A 的较大特征值 λ。

A = [5 3; −2 −2]

λ =

13.向量：点积和叉积中等

求 a = (5, −4, 3) 在 b = (3, 0, −1) 上的标量投影 comp_b a，也就是 a 在 b 方向上的分量。

a = (5, −4, 3)b = (3, 0, −1)

comp_b a =

14.向量：点积和叉积困难

求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (1, 0, 4)、b = (−4, −1, 3) 和 c = (−3, −4, 4)。

a = (1, 0, 4)b = (−4, −1, 3)c = (−3, −4, 4)

V =

15.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.2, 0.2, 0.35, 0.1, 0.15

σ =

16.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 5X + 5。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.3, 0.2, 0.15, 0.35Y = 5X + 5

σ_Y =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：29, 18, 48, 31, 53, 34, 56。

n = 7

s =

18.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 60，标准差为 12。求成绩 36 的 z 分数 z。

μ = 60σ = 12x = 36

z =

19.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.9744。求 z，保留两位小数。

A = 0.9744

z =

20.正态分布困难

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的前 95% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 178 cmσ = 7 cm95%

x = cm

3溶液

1.极限

答案: L = −4.5

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

乘以共轭式

f(x) = −9x/(√(x² − 9x) + x)

除以 x

f(x) = −9/(√(1 + (−9)/x) + 1)

令 x → ∞

L = −9/(1 + 1) = −4.5

答案

L = −4.5

2.极限

答案: L = 4

第一次应用

4·sin 4x/(4x) → 0/0

第二次应用

16·cos 4x/4

代入 x = 0

L = 16/4 = 4

答案

L = 4

3.导数

答案: f′(−1) = −6250

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

链式法则

f′(x) = 5·(−2x + 3)⁴·(−2)

代入

f′(−1) = 5·5⁴·(−2) = −6250

答案

f′(−1) = −6250

4.导数

答案: b = −3

切点和斜率

f(3) = 21

f′(x) = 2x + 2 → f′(3) = 8

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 21 − 8·3 = −3

答案

b = −3

5.积分

答案: I = 4.394

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = 4·ln x

代入上下限

I = 4·(ln 3 − ln 1) = 4·ln 3 = 4.394

答案

I = 4.394

6.积分

答案: I = 98.43

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

第一轮

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

第二轮

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

极限

20.09·(5) − 1·2 = 98.43

答案

I = 98.43

7.复数

答案: b = 1.005

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

欧拉公式

z = 3·(cos 2.8 + j sin 2.8)

分量（弧度）

a = 3·cos 2.8 = −2.827

b = 3·sin 2.8 = 1.005

b = 1.005

答案

b = 1.005

8.复数

答案: a = −1.5

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

判别式

p² − 4q = 9 − 34 = −25 < 0

求根公式

z = (−3 ± j√25)/2 = −1.5 + j2.5, −1.5 − j2.5

答案

a = −1.5

答案

a = −1.5

9.微分方程

答案: y(1) = 1.453

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

特征根

(r + 1)(r + 4) = 0 → r = −1, −4

由初值求常数

A + B = 3, −1A − 4B = 0

A = 4, B = −1

求值

y(1) = 4·e⁻¹ + (−1)·e⁻⁴ = 1.453

答案

y(1) = 1.453

10.微分方程

答案: m = 27.15 kg

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

列方程

dm/dt = 2·0.2 − (2/400)·m = 0.4 − 0.005·m

求解

积分因子为 e^rt/V；解趋近于平衡值 c·V。

m(t) = 80 + (−75)·e^−t/200

代入 t

m(70) = 80 + (−75)·0.7047 = 27.15 kg

答案

m = 27.15 kg

11.矩阵与行列式

答案: c₁₂ = −25

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

行乘列

c₁₂ = (−3)·5 + 5·(−2) = −25

答案

c₁₂ = −25

12.矩阵与行列式

答案: λ = 4

特征方程

λ² − (3)λ + (−4) = 0

求解

λ = (3 ± √(25))/2 → λ = −1, 4

λ = 4

答案

λ = 4

13.向量：点积和叉积

答案: comp_b a = 3.795

点积：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ，结果是标量。它可以给出两个向量的夹角 cos θ = a·b/(|a|·|b|)，两向量垂直时点积为零。a 在 b 上的标量投影是 a·b/|b|，恒力 F 使物体产生位移 d 时做的功为 W = F·d。

点积

a·b = 5·3 + (−4)·0 + 3·(−1) = 12

b 的长度

|b| = √(3² + 0² + (−1)²) = 3.162

标量投影

comp_b a = a·b/|b| = 12/3.162 = 3.795

答案

comp_b a = 3.795

14.向量：点积和叉积

答案: V = 60

叉积：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) 与两个向量都垂直，|a × b| = |a|·|b|·sin θ 是它们张成的平行四边形的面积（三角形面积是其一半）。顺序很重要：b × a = −(a × b)。作用在点 A 的力 F 对点 O 的力矩为 M_O = r × F，其中 r = A − O。

叉积 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−1)·4 − 3·(−4) = 8

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 3·(−3) − (−4)·4 = 7

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−4)·(−4) − (−1)·(−3) = 13

与 a 的点积

a·(b × c) = 1·8 + 0·7 + 4·13 = 60

V = |60| = 60

答案

V = 60

15.概率

答案: σ = 1.288

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.2 + 1·0.2 + 2·0.35 + 3·0.1 + 4·0.15 = 1.8

平方的均值

E(X²) = 0·0.2 + 1·0.2 + 4·0.35 + 9·0.1 + 16·0.15 = 4.9

方差

Var(X) = 4.9 − 1.8² = 1.66

σ = √1.66 = 1.288

答案

σ = 1.288

16.概率

答案: σ_Y = 62.2

X 的离散程度

μ = 25.5, Var(X) = 154.8, σ_X = 12.44

线性变换

σ_Y = |5|·12.44 = 62.2

答案

σ_Y = 62.2

均值确实会改变：E(Y) = 5·25.5 + 5 = 132.5。

17.描述统计

答案: s = 14.11

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 269/7 = 38.43

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−9.429)² + (−20.43)² + 9.571² + (−7.429)² + 14.57² + (−4.429)² + 17.57² = 1194

标准差

s = √(1194/6) = 14.11

答案

s = 14.11

18.描述统计

答案: z = −2

标准化

z = (36 − 60)/12 = −2

答案

z = −2

19.正态分布

答案: z = −1.95

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.9744 = 0.0256

反向查 z 表

在表中找到 0.0256，读出 z。

z = −1.95

答案

z = −1.95

20.正态分布

答案: x = 166.5 cm

左侧的面积

Φ(z) = 0.05

由表得到的 z

z ≈ −1.64

回到原来的单位

x = 178 − 1.64·7 = 166.5 cm

答案

x = 166.5 cm

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