工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (√(x² + 2x) − x)。

f(x) = √(x² + 2x) − xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (1 − cos 5x)/(4x²)，x 以弧度计。

f(x) = (1 − cos 5x)/(4x²)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = ln(x² + 4)。求 f′(−1)。

f(x) = ln(x² + 4)x = −1

f′(−1) =

4.导数困难

设 f(x) = x³ − 9x² + 15x − 6。求局部极小值点的 x 坐标 x。

f(x) = x³ − 9x² + 15x − 6

x =

5.积分中等

计算 I = ∫₁⁴ 2/x dx。

f(x) = 2/x[1, 4]

I =

6.积分困难

求由 y = 2x² 和 y = 3x 围成区域的面积 A。

y = 2x²y = 3x

A =

7.复数中等

求 z = −3 + j9 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间的主值。

z = −3 + j9

θ = °

8.复数困难

n = 3、w = 64∠45° 时，zⁿ = w 的根为 z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n)，k = 0, 1, 2。求 z₀ 的虚部。

w = 64∠45°n = 3k = 0

Im(z₀) =

9.微分方程中等

一个 420 °C 的钢锻件放在 22 °C 的车间里冷却。 41 min 后其温度为 73 °C。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。从开始算起需要多长时间 t 才能达到 48 °C？

T₀ = 420 °CT_a = 22 °CT(41) = 73 °CT = 48 °C

t = min

10.微分方程困难

求解初值问题 y′ + 3y/x = 4x，x > 0，y(1) = 4。求 y(2)。

y′ + 3y/x = 4xy(1) = 4

y(2) =

11.矩阵与行列式中等

对所示矩阵令 C = AB。求元素 c₂₁（第 2 行，第 1 列）。

A = [1 5; 3 −2]B = [0 −5; −6 −6]

c₂₁ =

12.矩阵与行列式困难

求所示矩阵 A 的较大特征值 λ。

A = [−1 3; −5 7]

λ =

13.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (−1, −4, 0) 与 b = (6, −4, 2) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (−1, −4, 0)b = (6, −4, 2)

θ = °

14.向量：点积和叉积困难

求顶点为 A(−3, 2, −3)、B(−4, −3, 3)、C(−2, −3, 3) 的三角形的面积 A。坐标单位为米。

A(−3, 2, −3)B(−4, −3, 3)C(−2, −3, 3)

A = m²

15.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.25, 0.15, 0.35, 0.1, 0.15

Var(X) =

16.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 10X + 10。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.35, 0.2, 0.25, 0.2Y = 10X + 10

σ_Y =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：49, 30, 48, 50, 52。

n = 5

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 60，标准差为 5。数值低于 65 的比例 P 是多少？

μ = 60σ = 5x = 65

P =

19.正态分布中等

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 247.75 和 257.5 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 250σ = 5x₁ = 247.75x₂ = 257.5

P =

20.正态分布困难

1 号生产线产品的质量 X 与 2 号生产线产品的质量 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 500 g，标准差为 8 g，Y 的均值为 490 g，标准差为 6 g。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

3溶液

1.极限

答案: L = 1

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

乘以共轭式

f(x) = 2x/(√(x² + 2x) + x)

除以 x

f(x) = 2/(√(1 + 2/x) + 1)

令 x → ∞

L = 2/(1 + 1) = 1

答案

L = 1

2.极限

答案: L = 3.125

第一次应用

5·sin 5x/(8x) → 0/0

第二次应用

25·cos 5x/8

代入 x = 0

L = 25/8 = 3.125

答案

L = 3.125

3.导数

答案: f′(−1) = −0.4

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

对数的链式法则

f′(x) = 2x/(x² + 4)

代入

f′(−1) = −2/5 = −0.4

答案

f′(−1) = −0.4

4.导数

答案: x = 5

导数

f′(x) = 3x² − 18x + 15 = 3·(x² − 6x + 5)

解 f′(x) = 0

x = 1 或 x = 5

判断哪个是哪个

f″(x) = 6x − 18：在极大值处为负，在极小值处为正。

f″(1) = −12, f″(5) = 12

x = 5

答案

x = 5

5.积分

答案: I = 2.773

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = 2·ln x

代入上下限

I = 2·(ln 4 − ln 1) = 2·ln 4 = 2.773

答案

I = 2.773

6.积分

答案: A = 1.125

交点

2x² = 3x → x = 0, x = 1.5

对上减下积分

A = [1.5x² − 0.6667x³]₀^1.5 = 1.125

答案

A = 1.125

7.复数

答案: θ = 108.4 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

象限

a = −3, b = 9 → II

参考角

α = atan(9/3) = 71.57°

辐角

θ = 180° − α = 108.4°

答案

θ = 108.4°

极坐标形式为 z = 9.487∠108.4°。

8.复数

答案: Im(z₀) = 1.035

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模

64^1/3 = 4

根的辐角

θ₀ = (45° + 360°·0)/3 = 15°

直角坐标形式

z₀ = 4·(cos 15° + j sin 15°) = 3.864 + j1.035

Im(z₀) = 1.035

答案

Im(z₀) = 1.035

3 个根位于半径为 4 的圆上，彼此相隔 120°。

9.微分方程

答案: t = 54.44 min

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却常数

k = ln(398/51)/41 = 0.05011 min⁻¹

达到目标温度的时间

t = ln(398/26)/0.05011 = 54.44 min

答案

t = 54.44 min

10.微分方程

答案: y(2) = 3.6

积分因子

μ = e^{∫3/x dx} = x³

积分

(x³y)′ = 4x⁴ → x³y = 4x⁵/5 + C

初始条件

4 = 4/5 + C → C = 3.2

求值

y(2) = (4·2⁵/5 + 3.2)/2³ = 3.6

答案

y(2) = 3.6

11.矩阵与行列式

答案: c₂₁ = 12

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

行乘列

c₂₁ = 3·0 + (−2)·(−6) = 12

答案

c₂₁ = 12

12.矩阵与行列式

答案: λ = 4

特征方程

λ² − (6)λ + (8) = 0

求解

λ = (6 ± √(4))/2 → λ = 2, 4

λ = 4

答案

λ = 4

13.向量：点积和叉积

答案: θ = 71.09 °

点积：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ，结果是标量。它可以给出两个向量的夹角 cos θ = a·b/(|a|·|b|)，两向量垂直时点积为零。a 在 b 上的标量投影是 a·b/|b|，恒力 F 使物体产生位移 d 时做的功为 W = F·d。

点积

a·b = (−1)·6 + (−4)·(−4) + 0·2 = 10

模

|a| = √((−1)² + (−4)² + 0²) = 4.123

|b| = √(6² + (−4)² + 2²) = 7.483

相角

cos θ = 10/(4.123·7.483) = 0.3241

θ = arccos(0.3241) = 71.09°

答案

θ = 71.09°

14.向量：点积和叉积

答案: A = 7.81 m²

叉积：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) 与两个向量都垂直，|a × b| = |a|·|b|·sin θ 是它们张成的平行四边形的面积（三角形面积是其一半）。顺序很重要：b × a = −(a × b)。作用在点 A 的力 F 对点 O 的力矩为 M_O = r × F，其中 r = A − O。

边向量

AB = B − A = (−1, −5, 6)

AC = C − A = (1, −5, 6)

叉积

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−5)·6 − 6·(−5) = 0

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 6·1 − (−1)·6 = 12

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−1)·(−5) − (−5)·1 = 10

|AB × AC| = √(0² + 12² + 10²) = 15.62

三角形的面积

A = ½·15.62 = 7.81 m²

答案

A = 7.81 m²

15.概率

答案: Var(X) = 1.787

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 1·0.25 + 2·0.15 + 3·0.35 + 4·0.1 + 5·0.15 = 2.75

平方的均值

E(X²) = 1·0.25 + 4·0.15 + 9·0.35 + 16·0.1 + 25·0.15 = 9.35

方差

Var(X) = 9.35 − 2.75² = 1.787

答案

Var(X) = 1.787

16.概率

答案: σ_Y = 114.5

X 的离散程度

μ = 23, Var(X) = 131, σ_X = 11.45

线性变换

σ_Y = |10|·11.45 = 114.5

答案

σ_Y = 114.5

均值确实会改变：E(Y) = 10·23 + 10 = 240。

17.描述统计

答案: s = 8.955

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 229/5 = 45.8

离差平方

Σ(x − x̄)² = 3.2² + (−15.8)² + 2.2² + 4.2² + 6.2² = 320.8

标准差

s = √(320.8/4) = 8.955

答案

s = 8.955

18.描述统计

答案: P = 0.8413

标准化

z = 1

标准正态分布表

Φ(1) = 0.8413

P = 0.8413

答案

P = 0.8413

19.正态分布

答案: P = 0.6068

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (247.75 − 250)/5 = −0.45

z₂ = (257.5 − 250)/5 = 1.5

中间面积

P = Φ(1.5) − Φ(−0.45) = 0.9332 − 0.3264 = 0.6068

答案

P = 0.6068

20.正态分布

答案: P = 0.8413

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

标准化

z = (0 − 10)/10 = −1

概率

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

答案

P = 0.8413

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