工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (√(x² + 3x) − x)。

f(x) = √(x² + 3x) − xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (e^2x − 1 − 2x)/x²。

f(x) = (e^2x − 1 − 2x)/x²x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x²·e^−0.5x。求 f′(1)。

f(x) = x²·e^−0.5xx = 1

f′(1) =

4.导数困难

f(x) = 3x² + 4x − 1 在 x = 2 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = 3x² + 4x − 1x = 2

b =

5.积分中等

计算 I = ∫₀¹ e^2x dx。

f(x) = e^2x[0, 1]

I =

6.积分困难

求抛物线 y = 9 − x² 与 x 轴之间区域的面积 A。

y = 9 − x²

A =

7.复数中等

求 z = −1 − j6 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间的主值。

z = −1 − j6

θ = °

8.复数困难

z³ + 6z² + 4z − 40 = 0 的一个根为 z₁ = −4 + j2。系数为实数。求实根 r。

z₁ = −4 + j2

r =

9.微分方程中等

解 y″ + 2y′ + y = 0，其中 y(0) = 3，y′(0) = -1。求 y(1.5)。

y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 3y′(0) = -1

y(1.5) =

10.微分方程困难

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 3y′ + 27.25y = 272.5，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求 y(1)；角度以弧度为单位。

y″ + 3y′ + 27.25y = 272.5y(0) = 0y′(0) = 0

y(1) =

11.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [5 −3 4; −3 1 −2; 2 5 0]

det A =

12.矩阵与行列式困难

求所示矩阵 A 的较大特征值 λ。

A = [0 3; 1 −2]

λ =

13.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (1, 0, 6) 与 b = (−1, −1, −3) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (1, 0, 6)b = (−1, −1, −3)

θ = °

14.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (−4, −4, 2) 和 b = (5, 1, 3) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 x 分量 n̂_x。

a = (−4, −4, 2)b = (5, 1, 3)n̂_z > 0

n̂_x =

15.概率中等

袋中有 4 个红球和 3 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

4 / 3

P =

16.概率困难

测试 10 个元件，每个独立地以概率 0.25 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 10p = 0.25

P =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：54, 58, 20, 27, 52, 24, 48。

n = 7

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 12。数值高于 65 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 12x = 65

P =

19.正态分布中等

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 65.5 和 80 分之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 65σ = 10x₁ = 65.5x₂ = 80

P =

20.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.04 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.04 mm, σ = 0.01 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

3溶液

1.极限

答案: L = 1.5

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

乘以共轭式

f(x) = 3x/(√(x² + 3x) + x)

除以 x

f(x) = 3/(√(1 + 3/x) + 1)

令 x → ∞

L = 3/(1 + 1) = 1.5

答案

L = 1.5

2.极限

答案: L = 2

第一次应用

(2·e^2x − 2)/(2x) → 0/0

第二次应用

4·e^2x/2

代入 x = 0

L = 4·1/2 = 2

答案

L = 2

3.导数

答案: f′(1) = 0.9098

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则

f′(x) = u′v + uv′ = e^−0.5x·(2x + (−0.5)·x²)

代入

f′(1) = 0.6065·(2 + (−0.5)) = 0.9098

答案

f′(1) = 0.9098

4.导数

答案: b = −13

切点和斜率

f(2) = 19

f′(x) = 6x + 4 → f′(2) = 16

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 19 − 16·2 = −13

答案

b = −13

5.积分

答案: I = 3.195

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = e^2x/2

代入上下限

I = (e² − 1)/2 = (7.389 − 1)/2 = 3.195

答案

I = 3.195

6.积分

答案: A = 36

零点

9 − x² = 0 → x = ±3

积分

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

答案

A = 36

7.复数

答案: θ = −99.46 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

象限

a = −1, b = −6 → III

参考角

α = atan(6/1) = 80.54°

辐角

θ = −(180° − α) = −99.46°

答案

θ = −99.46°

极坐标形式为 z = 6.083∠−99.46°。

8.复数

答案: r = 2

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = −4 − j2

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−4)·z + ((−4)² + 2²) = z² + 8z + 20

提取二次因式

z³ + 6z² + 4z − 40 = (z² + 8z + 20)(z − 2)

实根

r = 2

答案

r = 2

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = −8 + 2 = −6 = −(6)。

9.微分方程

答案: y(1.5) = 1.339

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

二重根

(r + 1)² = 0 → r = −1

常数

A = y(0) = 3

y′(0) = B − 1A → B = -1 + 3 = 2

求值

y(1.5) = (3 + 2·1.5)·e^−1.5 = 1.339

答案

y(1.5) = 1.339

10.微分方程

答案: y(1) = 10.01

稳态值与根

y_ss = 10, r = −1.5 ± 5j

由初值求常数

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10

y′(0) = −1.5A + 5B = 0 → B = −3

求值

y(1) = 10·(1 − e^−1.5(cos 5 + 0.3·sin 5)) = 10.01

答案

y(1) = 10.01

11.矩阵与行列式

答案: det A = −6

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = 10, M₁₂ = 4, M₁₃ = −17

代数余子式展开

det A = 5·10 − (−3)·4 + 4·(−17) = −6

答案

det A = −6

12.矩阵与行列式

答案: λ = 1

特征方程

λ² − (−2)λ + (−3) = 0

求解

λ = (−2 ± √(16))/2 → λ = −3, 1

λ = 1

答案

λ = 1

13.向量：点积和叉积

答案: θ = 160.4 °

点积：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ，结果是标量。它可以给出两个向量的夹角 cos θ = a·b/(|a|·|b|)，两向量垂直时点积为零。a 在 b 上的标量投影是 a·b/|b|，恒力 F 使物体产生位移 d 时做的功为 W = F·d。

点积

a·b = 1·(−1) + 0·(−1) + 6·(−3) = −19

模

|a| = √(1² + 0² + 6²) = 6.083

|b| = √((−1)² + (−1)² + (−3)²) = 3.317

相角

cos θ = −19/(6.083·3.317) = −0.9418

θ = arccos(−0.9418) = 160.4°

答案

θ = 160.4°

14.向量：点积和叉积

答案: n̂_x = −0.4576

叉积：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) 与两个向量都垂直，|a × b| = |a|·|b|·sin θ 是它们张成的平行四边形的面积（三角形面积是其一半）。顺序很重要：b × a = −(a × b)。作用在点 A 的力 F 对点 O 的力矩为 M_O = r × F，其中 r = A − O。

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−4)·3 − 2·1 = −14

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 2·5 − (−4)·3 = 22

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−4)·1 − (−4)·5 = 16

归一化

a × b 的 z 分量已经为正。

|a × b| = √((−14)² + 22² + 16²) = 30.59

n̂ = (−14, 22, 16)/30.59 = (−0.4576, 0.7191, 0.523)

n̂_x = −0.4576

答案

n̂_x = −0.4576

15.概率

答案: P = 0.2857

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 4/7 · 3/6 = 12/42 = 0.2857

答案

P = 0.2857

16.概率

答案: P = 0.244

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.75¹⁰ = 0.05631

P(X = 1) = 10·0.25·0.75⁹ = 0.1877

相加

P = 0.05631 + 0.1877 = 0.244

答案

P = 0.244

17.描述统计

答案: s = 16.08

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 283/7 = 40.43

离差平方

Σ(x − x̄)² = 13.57² + 17.57² + (−20.43)² + (−13.43)² + 11.57² + (−16.43)² + 7.571² = 1552

标准差

s = √(1552/6) = 16.08

答案

s = 16.08

18.描述统计

答案: P = 0.1056

标准化

z = 1.25

标准正态分布表

Φ(1.25) = 0.8944

P = 1 − 0.8944 = 0.1056

答案

P = 0.1056

19.正态分布

答案: P = 0.4133

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (65.5 − 65)/10 = 0.05

z₂ = (80 − 65)/10 = 1.5

中间面积

P = Φ(1.5) − Φ(0.05) = 0.9332 − 0.5199 = 0.4133

答案

P = 0.4133

20.正态分布

答案: P = 0.9633

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02236 mm

标准化

z = (0 − 0.04)/0.02236 = −1.79

概率

P = 1 − Φ(−1.79) = 0.9633

答案

P = 0.9633

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