工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (−5x³ + 5x − 3)/(x³ + 6x + 6)。

f(x) = (−5x³ + 5x − 3)/(x³ + 6x + 6)x → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(4x²)，x 以弧度计。

f(x) = (1 − cos 2x)/(4x²)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x²·e^2x。求 f′(0.5)。

f(x) = x²·e^2xx = 0.5

f′(0.5) =

4.导数困难

f(x) = 2x² + 5x − 1 在 x = 1 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = 2x² + 5x − 1x = 1

b =

5.积分中等

计算 I = ∫₀² 2x·(x² + 1)¹ dx。

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 2]

I =

6.积分困难

求由 y = 2x² 和 y = x 围成区域的面积 A。

y = 2x²y = x

A =

7.复数中等

把 z = 12∠125° 写成直角坐标形式 a + jb，并给出实部 a。

r = 12θ = 125°

a =

8.复数困难

z³ + 10z² + 36z + 40 = 0 的一个根为 z₁ = −4 + j2。系数为实数。求实根 r。

z₁ = −4 + j2

r =

9.微分方程中等

解 y″ + 8y′ + 16y = 0，其中 y(0) = 2，y′(0) = 1。求 y(1.5)。

y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 2y′(0) = 1

y(1.5) =

10.微分方程困难

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + y′ + 9.25y = 9.25，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求其阶跃响应的峰值 y_max。

y″ + y′ + 9.25y = 9.25y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [−2 −1 4; 2 5 3; 4 1 −2]

det A =

12.矩阵与行列式困难

解方程组 2x + 3y = −9 和 −6x + 4y = 1。求 x。

2x + 3y = −9−6x + 4y = 1

x =

13.向量：点积和叉积中等

求 a = (2, −3, −3) 在 b = (0, 4, −1) 上的标量投影 comp_b a，也就是 a 在 b 方向上的分量。

a = (2, −3, −3)b = (0, 4, −1)

comp_b a =

14.向量：点积和叉积困难

一个力 F = (−20, −10, 30) N 作用在点 A(−4, −4, 2)。坐标单位为米。求该力对点 O(0, 0, 3) 的力矩的 z 分量 M_z。

F = (−20, −10, 30) NA(−4, −4, 2) mO(0, 0, 3) m

M_z = N·m

15.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.2, 0.25, 0.2, 0.15, 0.2

σ =

16.概率困难

一局游戏的参与费用为 €1。你以概率 0.25 赢得 €5，以概率 0.02 赢得 €50；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €1€5: p = 0.25€50: p = 0.02

E(G) = €

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：48, 38, 58, 21, 51, 38, 28。

n = 7

s =

18.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 5。求成绩 176.3 的 z 分数 z。

μ = 170σ = 5x = 176.3

z =

19.正态分布中等

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。介于 490 和 542 h 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 500σ = 40x₁ = 490x₂ = 542

P =

20.正态分布困难

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 90% 的数据低于它（第 90 百分位数）。

μ = 65σ = 10P = 90%

x = 分

3溶液

1.极限

答案: L = −5

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

除以最高次幂

(−5 + 5/x² + (−3)/x³)/(1 + 6/x² + 6/x³)

令 x → ∞

L = −5/1 = −5

答案

L = −5

次数相同时，极限为首项系数之比。

2.极限

答案: L = 0.5

第一次应用

2·sin 2x/(8x) → 0/0

第二次应用

4·cos 2x/8

代入 x = 0

L = 4/8 = 0.5

答案

L = 0.5

3.导数

答案: f′(0.5) = 4.077

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(2x + 2·x²)

代入

f′(0.5) = 2.718·(1 + 0.5) = 4.077

答案

f′(0.5) = 4.077

4.导数

答案: b = −3

切点和斜率

f(1) = 6

f′(x) = 4x + 5 → f′(1) = 9

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 6 − 9·1 = −3

答案

b = −3

5.积分

答案: I = 12

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

换元

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u¹ du

积分并代入上下限

I = [u²/2]₁⁵ = (25 − 1)/2 = 12

答案

I = 12

6.积分

答案: A = 0.04167

交点

2x² = x → x = 0, x = 0.5

对上减下积分

A = [0.5x² − 0.6667x³]₀^0.5 = 0.04167

答案

A = 0.04167

7.复数

答案: a = −6.883

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

分量

a = 12·cos(125°) = −6.883

b = 12·sin(125°) = 9.83

直角坐标形式

z = −6.883 + j9.83

a = −6.883

答案

a = −6.883

8.复数

答案: r = −2

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = −4 − j2

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−4)·z + ((−4)² + 2²) = z² + 8z + 20

提取二次因式

z³ + 10z² + 36z + 40 = (z² + 8z + 20)(z + 2)

实根

r = −2

答案

r = −2

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = −8 + (−2) = −10 = −(10)。

9.微分方程

答案: y(1.5) = 0.03842

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

二重根

(r + 4)² = 0 → r = −4

常数

A = y(0) = 2

y′(0) = B − 4A → B = 1 + 8 = 9

求值

y(1.5) = (2 + 9·1.5)·e⁻⁶ = 0.03842

答案

y(1.5) = 0.03842

10.微分方程

答案: y_max = 1.592

稳态值与根

y_ss = 1, r = −0.5 ± 3j

由初值求常数

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −0.5A + 3B = 0 → B = −0.1667

峰值

t = π/3 = 1.047

y_max = 1·(1 + e^−0.5·π/3) = 1.592

答案

y_max = 1.592

11.矩阵与行列式

答案: det A = −62

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = −13, M₁₂ = −16, M₁₃ = −18

代数余子式展开

det A = (−2)·(−13) − (−1)·(−16) + 4·(−18) = −62

答案

det A = −62

12.矩阵与行列式

答案: x = −1.5

系数矩阵的行列式

det A = 2·4 − 3·(−6) = 26

替换 x 列

det Aₓ = (−9)·4 − 3·1 = −39

x = −39/26 = −1.5

答案

x = −1.5

y = −2

13.向量：点积和叉积

答案: comp_b a = −2.183

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = 2·0 + (−3)·4 + (−3)·(−1) = −9

b 的长度

|b| = √(0² + 4² + (−1)²) = 4.123

标量投影

comp_b a = a·b/|b| = −9/4.123 = −2.183

答案

comp_b a = −2.183

为负：a 有一个与 b 方向相反的分量。

14.向量：点积和叉积

答案: M_z = −40 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (−4, −4, 2) − (0, 0, 3) = (−4, −4, −1) m

力矩 M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−4)·30 − (−1)·(−10) = −130 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−1)·(−20) − (−4)·30 = 140 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−4)·(−10) − (−4)·(−20) = −40 N·m

所求分量

M_z = −40 N·m

答案

M_z = −40 N·m

15.概率

答案: σ = 1.411

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.2 + 1·0.25 + 2·0.2 + 3·0.15 + 4·0.2 = 1.9

平方的均值

E(X²) = 0·0.2 + 1·0.25 + 4·0.2 + 9·0.15 + 16·0.2 = 5.6

方差

Var(X) = 5.6 − 1.9² = 1.99

σ = √1.99 = 1.411

答案

σ = 1.411

16.概率

答案: E(G) = 1.25 €

净结果

G: 4 (p = 0.25), 49 (p = 0.02), −1 (p = 0.73)

期望值

E(G) = 4·0.25 + 49·0.02 − 1·0.73 = 1.25 €

答案

E(G) = 1.25 €

正值表示平均而言你会赢钱。

17.描述统计

答案: s = 13.05

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 282/7 = 40.29

离差平方

Σ(x − x̄)² = 7.714² + (−2.286)² + 17.71² + (−19.29)² + 10.71² + (−2.286)² + (−12.29)² = 1021

标准差

s = √(1021/6) = 13.05

答案

s = 13.05

18.描述统计

答案: z = 1.25

标准化

z = (176.3 − 170)/5 = 1.25

答案

z = 1.25

19.正态分布

答案: P = 0.4518

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (490 − 500)/40 = −0.25

z₂ = (542 − 500)/40 = 1.05

中间面积

P = Φ(1.05) − Φ(−0.25) = 0.8531 − 0.4013 = 0.4518

答案

P = 0.4518

20.正态分布

答案: x = 77.82 分

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

换算回 x

x = 65 + 1.282·10 = 77.82 分

答案

x = 77.82 分

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