工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (2x² − x + 7)/(x² + 6x + 4)。

f(x) = (2x² − x + 7)/(x² + 6x + 4)x → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (1 − cos 4x)/(3x²)，x 以弧度计。

f(x) = (1 − cos 4x)/(3x²)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x²·e^2x。求 f′(1)。

f(x) = x²·e^2xx = 1

f′(1) =

4.导数困难

设 f(x) = x³ − 15x² + 63x − 5。求局部极小值点的 x 坐标 x。

f(x) = x³ − 15x² + 63x − 5

x =

5.积分中等

计算 I = ∫₁⁴ x·ln x dx。

∫₁⁴ x ln x dx

I =

6.积分困难

求由 y = 2x² 和 y = 4x 围成区域的面积 A。

y = 2x²y = 4x

A =

7.复数中等

求 z = 1 + j8 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间的主值。

z = 1 + j8

θ = °

8.复数困难

z³ + 13z² + 57z + 85 = 0 的一个根为 z₁ = −4 + j。系数为实数。求实根 r。

z₁ = −4 + j

r =

9.微分方程中等

一罐 4 °C 的汽水从冰箱中取出，放到 24 °C 的房间里。 12 min 后其温度为 12 °C。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。求常数 k，以 min⁻¹ 计。

T₀ = 4 °CT_a = 24 °CT(12) = 12 °C

k = min⁻¹

10.微分方程困难

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 2y′ + 10y = 10，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求其阶跃响应的峰值 y_max。

y″ + 2y′ + 10y = 10y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [5 1 −4; 5 3 1; 3 −2 0]

det A =

12.矩阵与行列式困难

解方程组 −2x + 4y = 10 和 −x + y = 0。求 x。

−2x + 4y = 10−x + y = 0

x =

13.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (−3, 6, 4) 与 b = (−6, 5, −6) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (−3, 6, 4)b = (−6, 5, −6)

θ = °

14.向量：点积和叉积困难

求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (2, −4, 1)、b = (−5, 4, −1) 和 c = (5, −1, −3)。

a = (2, −4, 1)b = (−5, 4, −1)c = (5, −1, −3)

V =

15.概率中等

一颗均匀骰子掷 4 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 4

P =

16.概率困难

一份测试有 6 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.4，相互独立。恰好答对 1 题的概率 P 是多少？

n = 6p = 0.4k = 1

P =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：29, 55, 24, 35, 51, 14, 58。

n = 7

s =

18.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 60，标准差为 8。求成绩 68 的 z 分数 z。

μ = 60σ = 8x = 68

z =

19.正态分布中等

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 240 和 252.75 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 250σ = 5x₁ = 240x₂ = 252.75

P =

20.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的后 80% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 100 分σ = 15 分80%

x = 分

3溶液

1.极限

答案: L = 2

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

除以最高次幂

(2 + (−1)/x + 7/x²)/(1 + 6/x + 4/x²)

令 x → ∞

L = 2/1 = 2

答案

L = 2

次数相同时，极限为首项系数之比。

2.极限

答案: L = 2.667

第一次应用

4·sin 4x/(6x) → 0/0

第二次应用

16·cos 4x/6

代入 x = 0

L = 16/6 = 2.667

答案

L = 2.667

3.导数

答案: f′(1) = 29.56

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(2x + 2·x²)

代入

f′(1) = 7.389·(2 + 2) = 29.56

答案

f′(1) = 29.56

4.导数

答案: x = 7

导数

f′(x) = 3x² − 30x + 63 = 3·(x² − 10x + 21)

解 f′(x) = 0

x = 3 或 x = 7

判断哪个是哪个

f″(x) = 6x − 30：在极大值处为负，在极小值处为正。

f″(3) = −12, f″(7) = 12

x = 7

答案

x = 7

5.积分

答案: I = 7.34

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

选取 u 和 dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

原函数

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

极限

(8·ln 4 − 4) − (0 − 0.25) = 7.34

答案

I = 7.34

6.积分

答案: A = 2.667

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

交点

2x² = 4x → x = 0, x = 2

对上减下积分

A = [2x² − 0.6667x³]₀² = 2.667

答案

A = 2.667

7.复数

答案: θ = 82.87 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

象限

a = 1, b = 8 → I

参考角

α = atan(8/1) = 82.87°

辐角

θ = α = 82.87°

答案

θ = 82.87°

极坐标形式为 z = 8.062∠82.87°。

8.复数

答案: r = −5

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = −4 − j

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−4)·z + ((−4)² + 1²) = z² + 8z + 17

提取二次因式

z³ + 13z² + 57z + 85 = (z² + 8z + 17)(z + 5)

实根

r = −5

答案

r = −5

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = −8 + (−5) = −13 = −(13)。

9.微分方程

答案: k = 0.04257 min⁻¹

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

温差之比

e^−12k = -12/-20

解出 k

k = ln(-20/-12)/12 = 0.04257 min⁻¹

答案

k = 0.04257 min⁻¹

10.微分方程

答案: y_max = 1.351

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

稳态值与根

y_ss = 1, r = −1 ± 3j

由初值求常数

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −1A + 3B = 0 → B = −0.3333

峰值

t = π/3 = 1.047

y_max = 1·(1 + e^−1·π/3) = 1.351

答案

y_max = 1.351

11.矩阵与行列式

答案: det A = 89

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = 2, M₁₂ = −3, M₁₃ = −19

代数余子式展开

det A = 5·2 − 1·(−3) + (−4)·(−19) = 89

答案

det A = 89

12.矩阵与行列式

答案: x = 5

系数矩阵的行列式

det A = (−2)·1 − 4·(−1) = 2

替换 x 列

det Aₓ = 10·1 − 4·0 = 10

x = 10/2 = 5

答案

x = 5

y = 5

13.向量：点积和叉积

答案: θ = 71.82 °

点积：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ，结果是标量。它可以给出两个向量的夹角 cos θ = a·b/(|a|·|b|)，两向量垂直时点积为零。a 在 b 上的标量投影是 a·b/|b|，恒力 F 使物体产生位移 d 时做的功为 W = F·d。

点积

a·b = (−3)·(−6) + 6·5 + 4·(−6) = 24

模

|a| = √((−3)² + 6² + 4²) = 7.81

|b| = √((−6)² + 5² + (−6)²) = 9.849

相角

cos θ = 24/(7.81·9.849) = 0.312

θ = arccos(0.312) = 71.82°

答案

θ = 71.82°

14.向量：点积和叉积

答案: V = 39

叉积：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) 与两个向量都垂直，|a × b| = |a|·|b|·sin θ 是它们张成的平行四边形的面积（三角形面积是其一半）。顺序很重要：b × a = −(a × b)。作用在点 A 的力 F 对点 O 的力矩为 M_O = r × F，其中 r = A − O。

叉积 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 4·(−3) − (−1)·(−1) = −13

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−1)·5 − (−5)·(−3) = −20

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−5)·(−1) − 4·5 = −15

与 a 的点积

a·(b × c) = 2·(−13) + (−4)·(−20) + 1·(−15) = 39

V = |39| = 39

答案

V = 39

15.概率

答案: P = 0.5177

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)⁴ = 0.4823

P = 1 − 0.4823 = 0.5177

答案

P = 0.5177

16.概率

答案: P = 0.1866

二项分布公式

P(X = 1) = 6·0.4¹·0.6⁵ = 6·0.4·0.07776 = 0.1866

答案

P = 0.1866

17.描述统计

答案: s = 16.93

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 266/7 = 38

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−9)² + 17² + (−14)² + (−3)² + 13² + (−24)² + 20² = 1720

标准差

s = √(1720/6) = 16.93

答案

s = 16.93

18.描述统计

答案: z = 1

标准化

z = (68 − 60)/8 = 1

答案

z = 1

19.正态分布

答案: P = 0.6861

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (240 − 250)/5 = −2

z₂ = (252.75 − 250)/5 = 0.55

中间面积

P = Φ(0.55) − Φ(−2) = 0.7088 − 0.02275 = 0.6861

答案

P = 0.6861

20.正态分布

答案: x = 112.6 分

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.8

由表得到的 z

z ≈ 0.84

回到原来的单位

x = 100 + 0.84·15 = 112.6 分

答案

x = 112.6 分

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