工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (√(4x² − 3x) − 2x)。

f(x) = √(4x² − 3x) − 2xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (e^1.5x − 1 − 1.5x)/x²。

f(x) = (e^1.5x − 1 − 1.5x)/x²x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x·e^−0.5x。求 f′(0.5)。

f(x) = x·e^−0.5xx = 0.5

f′(0.5) =

4.导数困难

f(x) = 0.5x² − 5x − 3 在 x = 1 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = 0.5x² − 5x − 3x = 1

b =

5.积分中等

计算 I = ∫₁⁵ x·ln x dx。

∫₁⁵ x ln x dx

I =

6.积分困难

计算 I = ∫₀^1.5 x²·eˣ dx。

∫₀^1.5 x²eˣ dx

I =

7.复数中等

求 z = −8 − j5 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间的主值。

z = −8 − j5

θ = °

8.复数困难

A–D 各点中恰有一个是 z³ = 8∠120° 的根。点选它。

w = 8∠120°n = 3

1A (2∠−140°)
2B (1∠40°)
3C (2∠70°)
4D (2∠40°)

9.微分方程中等

一个 320 °C 的钢锻件放在 24 °C 的车间里冷却。 32 min 后其温度为 239 °C。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。求常数 k，以 min⁻¹ 计。

T₀ = 320 °CT_a = 24 °CT(32) = 239 °C

k = min⁻¹

10.微分方程困难

求解初值问题 y′ + 2y/x = 3，x > 0，y(1) = −1。求 y(3)。

y′ + 2y/x = 3y(1) = −1

y(3) =

11.矩阵与行列式中等

对所示矩阵令 C = AB。求元素 c₁₂（第 1 行，第 2 列）。

A = [−3 5; −3 4]B = [−5 −1; 1 −6]

c₁₂ =

12.矩阵与行列式困难

解方程组 −3x + 2y = −8 和 −x − 5y = −3。求 x。

−3x + 2y = −8−x − 5y = −3

x =

13.向量：点积和叉积中等

求 a = (4, −3, 5) 在 b = (−1, 5, 1) 上的标量投影 comp_b a，也就是 a 在 b 方向上的分量。

a = (4, −3, 5)b = (−1, 5, 1)

comp_b a =

14.向量：点积和叉积困难

求顶点为 A(−3, −4, 0)、B(1, −4, 2)、C(1, 3, 0) 的三角形的面积 A。坐标单位为米。

A(−3, −4, 0)B(1, −4, 2)C(1, 3, 0)

A = m²

15.概率中等

一颗均匀骰子掷 8 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 8

P =

16.概率困难

测试 10 个元件，每个独立地以概率 0.5 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 10p = 0.5

P =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：29, 23, 48, 33, 53, 45。

n = 6

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 20。数值高于 178 的比例 P 是多少？

μ = 170σ = 20x = 178

P =

19.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.8836。求 z，保留两位小数。

A = 0.8836

z =

20.正态分布困难

运动员 A 的单圈时间 X 与运动员 B 的单圈时间 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 52 s，标准差为 4 s，Y 的均值为 48 s，标准差为 3 s。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

3溶液

1.极限

答案: L = −0.75

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

乘以共轭式

f(x) = −3x/(√(4x² − 3x) + 2x)

除以 x

f(x) = −3/(√(4 + (−3)/x) + 2)

令 x → ∞

L = −3/(2 + 2) = −0.75

答案

L = −0.75

2.极限

答案: L = 1.125

第一次应用

(1.5·e^1.5x − 1.5)/(2x) → 0/0

第二次应用

2.25·e^1.5x/2

代入 x = 0

L = 2.25·1/2 = 1.125

答案

L = 1.125

3.导数

答案: f′(0.5) = 0.5841

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则

f′(x) = u′v + uv′ = e^−0.5x·(1 + (−0.5)·x)

代入

f′(0.5) = 0.7788·(1 + (−0.25)) = 0.5841

答案

f′(0.5) = 0.5841

4.导数

答案: b = −3.5

切点和斜率

f(1) = −7.5

f′(x) = x − 5 → f′(1) = −4

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −7.5 − (−4)·1 = −3.5

答案

b = −3.5

5.积分

答案: I = 14.12

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

选取 u 和 dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

原函数

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

极限

(12.5·ln 5 − 6.25) − (0 − 0.25) = 14.12

答案

I = 14.12

6.积分

答案: I = 3.602

第一轮

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

第二轮

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

极限

4.482·(1.25) − 1·2 = 3.602

答案

I = 3.602

7.复数

答案: θ = −148 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

象限

a = −8, b = −5 → III

参考角

α = atan(5/8) = 32.01°

辐角

θ = −(180° − α) = −148°

答案

θ = −148°

极坐标形式为 z = 9.434∠−148°。

8.复数

答案: D (2∠40°)

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模与辐角

|z| = 2

θ = 40°, 160°, −80°

该点

D = 2∠40°

答案

D (2∠40°)

9.微分方程

答案: k = 0.009991 min⁻¹

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

温差之比

e^−32k = 215/296

解出 k

k = ln(296/215)/32 = 0.009991 min⁻¹

答案

k = 0.009991 min⁻¹

10.微分方程

答案: y(3) = 2.778

积分因子

μ = e^{∫2/x dx} = x²

积分

(x²y)′ = 3x² → x²y = 3x³/3 + C

初始条件

−1 = 3/3 + C → C = −2

求值

y(3) = (3·3³/3 + (−2))/3² = 2.778

答案

y(3) = 2.778

11.矩阵与行列式

答案: c₁₂ = −27

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

行乘列

c₁₂ = (−3)·(−1) + 5·(−6) = −27

答案

c₁₂ = −27

12.矩阵与行列式

答案: x = 2.706

系数矩阵的行列式

det A = (−3)·(−5) − 2·(−1) = 17

替换 x 列

det Aₓ = (−8)·(−5) − 2·(−3) = 46

x = 46/17 = 2.706

答案

x = 2.706

y = 0.05882

13.向量：点积和叉积

答案: comp_b a = −2.694

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = 4·(−1) + (−3)·5 + 5·1 = −14

b 的长度

|b| = √((−1)² + 5² + 1²) = 5.196

标量投影

comp_b a = a·b/|b| = −14/5.196 = −2.694

答案

comp_b a = −2.694

为负：a 有一个与 b 方向相反的分量。

14.向量：点积和叉积

答案: A = 16.16 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

边向量

AB = B − A = (4, 0, 2)

AC = C − A = (4, 7, 0)

叉积

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 0·0 − 2·7 = −14

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 2·4 − 4·0 = 8

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 4·7 − 0·4 = 28

|AB × AC| = √((−14)² + 8² + 28²) = 32.31

三角形的面积

A = ½·32.31 = 16.16 m²

答案

A = 16.16 m²

15.概率

答案: P = 0.7674

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)⁸ = 0.2326

P = 1 − 0.2326 = 0.7674

答案

P = 0.7674

16.概率

答案: P = 0.01074

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.5¹⁰ = 0.0009766

P(X = 1) = 10·0.5·0.5⁹ = 0.009766

相加

P = 0.0009766 + 0.009766 = 0.01074

答案

P = 0.01074

17.描述统计

答案: s = 11.86

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 231/6 = 38.5

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−9.5)² + (−15.5)² + 9.5² + (−5.5)² + 14.5² + 6.5² = 703.5

标准差

s = √(703.5/5) = 11.86

答案

s = 11.86

18.描述统计

答案: P = 0.3446

标准化

z = 0.4

标准正态分布表

Φ(0.4) = 0.6554

P = 1 − 0.6554 = 0.3446

答案

P = 0.3446

19.正态分布

答案: z = 1.57

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.8836)/2 = 0.9418

反向查 z 表

在表中找到 0.9418，读出 z。

z = 1.57

答案

z = 1.57

20.正态分布

答案: P = 0.7881

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

标准化

z = (0 − 4)/5 = −0.8

概率

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

答案

P = 0.7881

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