工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (x³ − 4x − 4)/(5x³ + 6x + 9)。

f(x) = (x³ − 4x − 4)/(5x³ + 6x + 9)x → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(3x²)，x 以弧度计。

f(x) = (1 − cos 2x)/(3x²)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x²·e^x。求 f′(2)。

f(x) = x²·e^xx = 2

f′(2) =

4.导数困难

f(x) = 3x² − 3x 在 x = −2 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = 3x² − 3xx = −2

b =

5.积分中等

计算 I = ∫₁⁵ 1/x dx。

f(x) = 1/x[1, 5]

I =

6.积分困难

求抛物线 y = 9 − x² 与 x 轴之间区域的面积 A。

y = 9 − x²

A =

7.复数中等

数 z = 6·e^j2.8 的角度以弧度为单位。求它的实部 a。

r = 6θ = 2.8 rad

a =

8.复数困难

n = 2、w = 36∠45° 时，zⁿ = w 的根为 z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n)，k = 0, 1。求 z₀ 的辐角，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间。

w = 36∠45°n = 2k = 0

θ₀ = °

9.微分方程中等

解 y″ + 5y′ + 4y = 0，其中 y(0) = 5，y′(0) = 2。求 y(2)。

y″ + 5y′ + 4y = 0y(0) = 5y′(0) = 2

y(2) =

10.微分方程困难

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 2y′ + 17y = 85，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求其阶跃响应的峰值 y_max。

y″ + 2y′ + 17y = 85y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.矩阵与行列式中等

对所示矩阵令 C = AB。求元素 c₂₁（第 2 行，第 1 列）。

A = [4 −4; 3 2]B = [−2 1; 6 −1]

c₂₁ =

12.矩阵与行列式困难

解方程组 6x + 4y = −12 和 2x − 2y = −2。求 x。

6x + 4y = −122x − 2y = −2

x =

13.向量：点积和叉积中等

求 a = (−7, −6, −2) 在 b = (1, 6, −4) 上的标量投影 comp_b a，也就是 a 在 b 方向上的分量。

a = (−7, −6, −2)b = (1, 6, −4)

comp_b a =

14.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (2, 5, 2) 和 b = (3, 4, 2) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 x 分量 n̂_x。

a = (2, 5, 2)b = (3, 4, 2)n̂_z > 0

n̂_x =

15.概率中等

一颗均匀骰子掷 3 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 3

P =

16.概率困难

一局游戏的参与费用为 €3。你以概率 0.1 赢得 €9，以概率 0.01 赢得 €60；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €3€9: p = 0.1€60: p = 0.01

E(G) = €

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：57, 43, 23, 12, 20, 51。

n = 6

s =

18.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 100，标准差为 12。求成绩 85.6 的 z 分数 z。

μ = 100σ = 12x = 85.6

z =

19.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.9127。求 z，保留两位小数。

A = 0.9127

z =

20.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的前 80% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 100 分σ = 15 分80%

x = 分

3溶液

1.极限

答案: L = 0.2

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

除以最高次幂

(1 + (−4)/x² + (−4)/x³)/(5 + 6/x² + 9/x³)

令 x → ∞

L = 1/5 = 0.2

答案

L = 0.2

次数相同时，极限为首项系数之比。

2.极限

答案: L = 0.6667

第一次应用

2·sin 2x/(6x) → 0/0

第二次应用

4·cos 2x/6

代入 x = 0

L = 4/6 = 0.6667

答案

L = 0.6667

3.导数

答案: f′(2) = 59.11

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(2x + 1·x²)

代入

f′(2) = 7.389·(4 + 4) = 59.11

答案

f′(2) = 59.11

4.导数

答案: b = −12

切点和斜率

f(−2) = 18

f′(x) = 6x − 3 → f′(−2) = −15

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 18 − (−15)·(−2) = −12

答案

b = −12

5.积分

答案: I = 1.609

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = ln x

代入上下限

I = (ln 5 − ln 1) = ln 5 = 1.609

答案

I = 1.609

6.积分

答案: A = 36

零点

9 − x² = 0 → x = ±3

积分

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

答案

A = 36

7.复数

答案: a = −5.653

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

欧拉公式

z = 6·(cos 2.8 + j sin 2.8)

分量（弧度）

a = 6·cos 2.8 = −5.653

b = 6·sin 2.8 = 2.01

a = −5.653

答案

a = −5.653

8.复数

答案: θ₀ = 22.5 °

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模

36^1/2 = 6

根的辐角

θ₀ = (45° + 360°·0)/2 = 22.5°

辐角

θ₀ = 22.5°

答案

θ₀ = 22.5°

2 个根位于半径为 6 的圆上，彼此相隔 180°。

9.微分方程

答案: y(2) = 0.9917

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

特征根

(r + 1)(r + 4) = 0 → r = −1, −4

由初值求常数

A + B = 5, −1A − 4B = 2

A = 7.333, B = −2.333

求值

y(2) = 7.333·e⁻² + (−2.333)·e⁻⁸ = 0.9917

答案

y(2) = 0.9917

10.微分方程

答案: y_max = 7.28

稳态值与根

y_ss = 5, r = −1 ± 4j

由初值求常数

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −1A + 4B = 0 → B = −1.25

峰值

t = π/4 = 0.7854

y_max = 5·(1 + e^−1·π/4) = 7.28

答案

y_max = 7.28

11.矩阵与行列式

答案: c₂₁ = 6

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

行乘列

c₂₁ = 3·(−2) + 2·6 = 6

答案

c₂₁ = 6

12.矩阵与行列式

答案: x = −1.6

系数矩阵的行列式

det A = 6·(−2) − 4·2 = −20

替换 x 列

det Aₓ = (−12)·(−2) − 4·(−2) = 32

x = 32/(−20) = −1.6

答案

x = −1.6

y = −0.6

13.向量：点积和叉积

答案: comp_b a = −4.808

点积：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ，结果是标量。它可以给出两个向量的夹角 cos θ = a·b/(|a|·|b|)，两向量垂直时点积为零。a 在 b 上的标量投影是 a·b/|b|，恒力 F 使物体产生位移 d 时做的功为 W = F·d。

点积

a·b = (−7)·1 + (−6)·6 + (−2)·(−4) = −35

b 的长度

|b| = √(1² + 6² + (−4)²) = 7.28

标量投影

comp_b a = a·b/|b| = −35/7.28 = −4.808

答案

comp_b a = −4.808

为负：a 有一个与 b 方向相反的分量。

14.向量：点积和叉积

答案: n̂_x = −0.2649

叉积：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) 与两个向量都垂直，|a × b| = |a|·|b|·sin θ 是它们张成的平行四边形的面积（三角形面积是其一半）。顺序很重要：b × a = −(a × b)。作用在点 A 的力 F 对点 O 的力矩为 M_O = r × F，其中 r = A − O。

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 5·2 − 2·4 = 2

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 2·3 − 2·2 = 2

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 2·4 − 5·3 = −7

归一化

a × b 的 z 分量为负，所以要用 −(a × b)。

|a × b| = √(2² + 2² + (−7)²) = 7.55

n̂ = −(2, 2, −7)/7.55 = (−0.2649, −0.2649, 0.9272)

n̂_x = −0.2649

答案

n̂_x = −0.2649

15.概率

答案: P = 0.4213

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)³ = 0.5787

P = 1 − 0.5787 = 0.4213

答案

P = 0.4213

16.概率

答案: E(G) = −1.5 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 6 (p = 0.1), 57 (p = 0.01), −3 (p = 0.89)

期望值

E(G) = 6·0.1 + 57·0.01 − 3·0.89 = −1.5 €

答案

E(G) = −1.5 €

负值表示平均而言你会亏钱。

17.描述统计

答案: s = 18.44

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 206/6 = 34.33

离差平方

Σ(x − x̄)² = 22.67² + 8.667² + (−11.33)² + (−22.33)² + (−14.33)² + 16.67² = 1699

标准差

s = √(1699/5) = 18.44

答案

s = 18.44

18.描述统计

答案: z = −1.2

标准化

z = (85.6 − 100)/12 = −1.2

答案

z = −1.2

19.正态分布

答案: z = 1.71

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.9127)/2 = 0.9564

反向查 z 表

在表中找到 0.9564，读出 z。

z = 1.71

答案

z = 1.71

20.正态分布

答案: x = 87.4 分

左侧的面积

Φ(z) = 0.2

由表得到的 z

z ≈ −0.84

回到原来的单位

x = 100 − 0.84·15 = 87.4 分

答案

x = 87.4 分

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