工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (√(x² − 8x) − x)。

f(x) = √(x² − 8x) − xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (e^−2x − 1 + 2x)/x²。

f(x) = (e^−2x − 1 + 2x)/x²x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x·sin(x)，x 以弧度计。求 f′(2)。

f(x) = x·sin(x)x = 2 rad

f′(2) =

4.导数困难

f(x) = 3x² + 5x + 2 在 x = −2 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = 3x² + 5x + 2x = −2

b =

5.积分中等

计算 I = ∫₀^π/2 x·sin x dx（x 以弧度为单位）。

∫₀^π/2 x·sin x dx

I =

6.积分困难

求抛物线 y = 1 − x² 与 x 轴之间区域的面积 A。

y = 1 − x²

A =

7.复数中等

求 z = 2 + j2 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间的主值。

z = 2 + j2

θ = °

8.复数困难

方程 z² − 2z + 10 = 0 有两个复根。求它们的模 |z|。

p = −2q = 10

|z| =

9.微分方程中等

解 y″ + 6y′ + 9y = 0，其中 y(0) = 2，y′(0) = -2。求 y(1)。

y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 2y′(0) = -2

y(1) =

10.微分方程困难

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + y′ + 25.25y = 25.25，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求其阶跃响应的峰值 y_max。

y″ + y′ + 25.25y = 25.25y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [2 −2 1; −5 3 4; 0 5 3]

det A =

12.矩阵与行列式困难

求所示矩阵 A 的较大特征值 λ。

A = [0 −3; −8 2]

λ =

13.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (4, 5, −2) 与 b = (−4, 1, −5) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (4, 5, −2)b = (−4, 1, −5)

θ = °

14.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (−1, −3, 2) 和 b = (5, 3, −1) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 y 分量 n̂_y。

a = (−1, −3, 2)b = (5, 3, −1)n̂_z > 0

n̂_y =

15.概率中等

袋中有 8 个红球和 4 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

8 / 4

P =

16.概率困难

一份测试有 5 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.1，相互独立。恰好答对 1 题的概率 P 是多少？

n = 5p = 0.1k = 1

P =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：51, 42, 14, 18, 39, 48, 34。

n = 7

s =

18.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 10。求成绩 174 的 z 分数 z。

μ = 170σ = 10x = 174

z =

19.正态分布中等

螺栓的质量相互独立，服从均值 40 g、标准差 1.2 g 的正态分布。求其中 16 个的总质量超过 644.8 g 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 16> 644.8 g

P =

20.正态分布困难

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 5% 的数据低于它（第 5 百分位数）。

μ = 65σ = 10P = 5%

x = 分

3溶液

1.极限

答案: L = −4

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

乘以共轭式

f(x) = −8x/(√(x² − 8x) + x)

除以 x

f(x) = −8/(√(1 + (−8)/x) + 1)

令 x → ∞

L = −8/(1 + 1) = −4

答案

L = −4

2.极限

答案: L = 2

第一次应用

(−2·e^−2x + 2)/(2x) → 0/0

第二次应用

4·e^−2x/2

代入 x = 0

L = 4·1/2 = 2

答案

L = 2

3.导数

答案: f′(2) = 0.077

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则与链式法则

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

代入

f′(2) = 0.9093 + 2·(−0.4161) = 0.077

答案

f′(2) = 0.077

4.导数

答案: b = −10

切点和斜率

f(−2) = 4

f′(x) = 6x + 5 → f′(−2) = −7

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 4 − (−7)·(−2) = −10

答案

b = −10

5.积分

答案: I = 1

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

选取 u 和 dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

原函数

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

极限

(−π/2·cos π/2 + sin π/2) − (0 + 0) = 1

答案

I = 1

6.积分

答案: A = 1.333

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

零点

1 − x² = 0 → x = ±1

积分

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333

答案

A = 1.333

7.复数

答案: θ = 45 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

象限

a = 2, b = 2 → I

参考角

α = atan(2/2) = 45°

辐角

θ = α = 45°

答案

θ = 45°

极坐标形式为 z = 2.828∠45°。

8.复数

答案: |z| = 3.162

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

判别式

p² − 4q = 4 − 40 = −36 < 0

求根公式

z = (2 ± j√36)/2 = 1 + j3, 1 − j3

答案

|z| = √(1² + 3²) = √10 = 3.162

答案

|z| = 3.162

9.微分方程

答案: y(1) = 0.2987

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

二重根

(r + 3)² = 0 → r = −3

常数

A = y(0) = 2

y′(0) = B − 3A → B = -2 + 6 = 4

求值

y(1) = (2 + 4·1)·e⁻³ = 0.2987

答案

y(1) = 0.2987

10.微分方程

答案: y_max = 1.73

稳态值与根

y_ss = 1, r = −0.5 ± 5j

由初值求常数

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −0.5A + 5B = 0 → B = −0.1

峰值

t = π/5 = 0.6283

y_max = 1·(1 + e^−0.5·π/5) = 1.73

答案

y_max = 1.73

11.矩阵与行列式

答案: det A = −77

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = −11, M₁₂ = −15, M₁₃ = −25

代数余子式展开

det A = 2·(−11) − (−2)·(−15) + 1·(−25) = −77

答案

det A = −77

12.矩阵与行列式

答案: λ = 6

特征方程

λ² − (2)λ + (−24) = 0

求解

λ = (2 ± √(100))/2 → λ = −4, 6

λ = 6

答案

λ = 6

13.向量：点积和叉积

答案: θ = 91.32 °

点积：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ，结果是标量。它可以给出两个向量的夹角 cos θ = a·b/(|a|·|b|)，两向量垂直时点积为零。a 在 b 上的标量投影是 a·b/|b|，恒力 F 使物体产生位移 d 时做的功为 W = F·d。

点积

a·b = 4·(−4) + 5·1 + (−2)·(−5) = −1

模

|a| = √(4² + 5² + (−2)²) = 6.708

|b| = √((−4)² + 1² + (−5)²) = 6.481

相角

cos θ = −1/(6.708·6.481) = −0.023

θ = arccos(−0.023) = 91.32°

答案

θ = 91.32°

14.向量：点积和叉积

答案: n̂_y = 0.5883

叉积：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) 与两个向量都垂直，|a × b| = |a|·|b|·sin θ 是它们张成的平行四边形的面积（三角形面积是其一半）。顺序很重要：b × a = −(a × b)。作用在点 A 的力 F 对点 O 的力矩为 M_O = r × F，其中 r = A − O。

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−3)·(−1) − 2·3 = −3

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 2·5 − (−1)·(−1) = 9

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−1)·3 − (−3)·5 = 12

归一化

a × b 的 z 分量已经为正。

|a × b| = √((−3)² + 9² + 12²) = 15.3

n̂ = (−3, 9, 12)/15.3 = (−0.1961, 0.5883, 0.7845)

n̂_y = 0.5883

答案

n̂_y = 0.5883

15.概率

答案: P = 0.4242

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 8/12 · 7/11 = 56/132 = 0.4242

答案

P = 0.4242

16.概率

答案: P = 0.3281

二项分布公式

P(X = 1) = 5·0.1¹·0.9⁴ = 5·0.1·0.6561 = 0.3281

答案

P = 0.3281

17.描述统计

答案: s = 14.26

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 246/7 = 35.14

离差平方

Σ(x − x̄)² = 15.86² + 6.857² + (−21.14)² + (−17.14)² + 3.857² + 12.86² + (−1.143)² = 1221

标准差

s = √(1221/6) = 14.26

答案

s = 14.26

18.描述统计

答案: z = 0.4

标准化

z = (174 − 170)/10 = 0.4

答案

z = 0.4

19.正态分布

答案: P = 0.1587

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 640 g, σ_T = 1.2·√16 = 4.8 g

标准化

z = (644.8 − 640)/4.8 = 1

概率

P = 1 − Φ(1) = 0.1587

答案

P = 0.1587

20.正态分布

答案: x = 48.55 分

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

换算回 x

x = 65 + −1.645·10 = 48.55 分

答案

x = 48.55 分

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