工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (√(x² − 6x) − x)。

f(x) = √(x² − 6x) − xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 ln(1 + 5x)/sin(2x)，x 以弧度计。

f(x) = ln(1 + 5x)/sin(2x)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = ln(3x² + 4)。求 f′(−2)。

f(x) = ln(3x² + 4)x = −2

f′(−2) =

4.导数困难

f(x) = 0.5x² + 3x + 2 在 x = −1 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = 0.5x² + 3x + 2x = −1

b =

5.积分中等

计算 I = ∫₀² 2x·(x² + 1)² dx。

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 2]

I =

6.积分困难

计算 I = ∫₀^0.5 x²·eˣ dx。

∫₀^0.5 x²eˣ dx

I =

7.复数中等

把 z = −7 − j3 写成指数形式 r·e^jθ。θ 以弧度给出，取 −π 到 π 之间。

z = −7 − j3

θ = rad

8.复数困难

用棣莫弗定理求 z = 2 + j2 时 z⁴ 的实部。

z = 2 + j2n = 4

Re(z⁴) =

9.微分方程中等

一杯 94 °C 的咖啡放在 23 °C 的房间里。 19 min 后其温度为 50 °C。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。从开始算起需要多长时间 t 才能达到 32 °C？

T₀ = 94 °CT_a = 23 °CT(19) = 50 °CT = 32 °C

t = min

10.微分方程困难

一个水箱装有 400 L 纯水。每升含盐 0.05 kg 的盐水以 4 L/min 流入，混合均匀的溶液以相同流量流出。多少分钟 t 后水箱中含盐 14 kg？

V = 400 Lm₀ = 0 kgc = 0.05 kg/Lr = 4 L/min

t = min

11.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [5 0 −3; 0 5 −4; 4 5 −5]

det A =

12.矩阵与行列式困难

求所示矩阵 A 的较大特征值 λ。

A = [5 4; −3 −2]

λ =

13.向量：点积和叉积中等

一个恒力 F = (−5, −10, −10) N 作用在物体上，物体沿直线从点 A(3, 5, −3) 运动到点 B(−5, −5, 5)。坐标单位为米。求该力所做的功 W。

F = (−5, −10, −10) NA(3, 5, −3) mB(−5, −5, 5) m

W = J

14.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (−3, 4, 3) 和 b = (−5, 0, 4) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 y 分量 n̂_y。

a = (−3, 4, 3)b = (−5, 0, 4)n̂_z > 0

n̂_y =

15.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.3, 0.35

Var(X) =

16.概率困难

一局游戏的参与费用为 €10。你以概率 0.25 赢得 €20，以概率 0.01 赢得 €200；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €10€20: p = 0.25€200: p = 0.01

E(G) = €

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：57, 52, 45, 41, 52, 37, 46。

n = 7

s =

18.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 40。求成绩 452 的 z 分数 z。

μ = 500σ = 40x = 452

z =

19.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.6736。求 z，保留两位小数。

A = 0.6736

z =

20.正态分布困难

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。求数值 x，使得有 5% 的数据低于它（第 5 百分位数）。

μ = 178σ = 7P = 5%

x = cm

3溶液

1.极限

答案: L = −3

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

乘以共轭式

f(x) = −6x/(√(x² − 6x) + x)

除以 x

f(x) = −6/(√(1 + (−6)/x) + 1)

令 x → ∞

L = −6/(1 + 1) = −3

答案

L = −3

2.极限

答案: L = 2.5

洛必达法则

L = lim_x→0 [5/(1 + 5x)]/[2·cos 2x]

代入 x = 0

L = 5/2 = 2.5

答案

L = 2.5

3.导数

答案: f′(−2) = −0.75

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

对数的链式法则

f′(x) = 6x/(3x² + 4)

代入

f′(−2) = −12/16 = −0.75

答案

f′(−2) = −0.75

4.导数

答案: b = 1.5

切点和斜率

f(−1) = −0.5

f′(x) = x + 3 → f′(−1) = 2

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −0.5 − 2·(−1) = 1.5

答案

b = 1.5

5.积分

答案: I = 41.33

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

换元

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u² du

积分并代入上下限

I = [u³/3]₁⁵ = (125 − 1)/3 = 41.33

答案

I = 41.33

6.积分

答案: I = 0.0609

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

第一轮

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

第二轮

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

极限

1.649·(1.25) − 1·2 = 0.0609

答案

I = 0.0609

7.复数

答案: θ = −2.737 rad

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

模

r = √(49 + 9) = 7.616

以弧度表示的辐角

θ = −156.8° = −156.8·π/180 = −2.737 rad

指数形式

z = 7.616·e^−j2.737

答案

θ = −2.737 rad

8.复数

答案: Re(z⁴) = −64

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

极坐标形式

z = 2 + j2 = 2√2∠45°

棣莫弗定理

z⁴ = (2√2)⁴∠180° = 64∠180°

直角坐标形式

z⁴ = 64·(cos 180° + j sin 180°) = −64

Re(z⁴) = −64

答案

Re(z⁴) = −64

9.微分方程

答案: t = 40.59 min

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却常数

k = ln(71/27)/19 = 0.05089 min⁻¹

达到目标温度的时间

t = ln(71/9)/0.05089 = 40.59 min

答案

t = 40.59 min

10.微分方程

答案: t = 120.4 min

结果

m(t) = 20 + (−20)·e^−t/100

解出 t

e^−t/100 = (20 − 14)/(20 − 0) = 0.3

t = 100·ln(3.333) = 120.4 min

答案

t = 120.4 min

11.矩阵与行列式

答案: det A = 35

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = −5, M₁₂ = 16, M₁₃ = −20

代数余子式展开

det A = 5·(−5) − 0·16 + (−3)·(−20) = 35

答案

det A = 35

12.矩阵与行列式

答案: λ = 2

特征方程

λ² − (3)λ + (2) = 0

求解

λ = (3 ± √(1))/2 → λ = 1, 2

λ = 2

答案

λ = 2

13.向量：点积和叉积

答案: W = 60 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

位移

d = B − A = (−5, −5, 5) − (3, 5, −3) = (−8, −10, 8) m

功

W = F·d = (−5)·(−8) + (−10)·(−10) + (−10)·8 = 60 J

答案

W = 60 J

14.向量：点积和叉积

答案: n̂_y = −0.1163

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 4·4 − 3·0 = 16

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 3·(−5) − (−3)·4 = −3

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−3)·0 − 4·(−5) = 20

归一化

a × b 的 z 分量已经为正。

|a × b| = √(16² + (−3)² + 20²) = 25.79

n̂ = (16, −3, 20)/25.79 = (0.6205, −0.1163, 0.7756)

n̂_y = −0.1163

答案

n̂_y = −0.1163

15.概率

答案: Var(X) = 0.7

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.35 + 1·0.3 + 2·0.35 = 1

平方的均值

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.3 + 4·0.35 = 1.7

方差

Var(X) = 1.7 − 1² = 0.7

答案

Var(X) = 0.7

16.概率

答案: E(G) = −3 €

净结果

G: 10 (p = 0.25), 190 (p = 0.01), −10 (p = 0.74)

期望值

E(G) = 10·0.25 + 190·0.01 − 10·0.74 = −3 €

答案

E(G) = −3 €

负值表示平均而言你会亏钱。

17.描述统计

答案: s = 6.962

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 330/7 = 47.14

离差平方

Σ(x − x̄)² = 9.857² + 4.857² + (−2.143)² + (−6.143)² + 4.857² + (−10.14)² + (−1.143)² = 290.9

标准差

s = √(290.9/6) = 6.962

答案

s = 6.962

18.描述统计

答案: z = −1.2

标准化

z = (452 − 500)/40 = −1.2

答案

z = −1.2

19.正态分布

答案: z = −0.45

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.6736 = 0.3264

反向查 z 表

在表中找到 0.3264，读出 z。

z = −0.45

答案

z = −0.45

20.正态分布

答案: x = 166.5 cm

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

换算回 x

x = 178 + −1.645·7 = 166.49 cm

答案

x = 166.49 cm

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