工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (1 − 2/x)^2x。给出小数值。

f(x) = (1 − 2/x)^2xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 ln(1 + 4x)/sin(x)，x 以弧度计。

f(x) = ln(1 + 4x)/sin(x)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x²·e^x。求 f′(1.5)。

f(x) = x²·e^xx = 1.5

f′(1.5) =

4.导数困难

f(x) = x² − x + 4 在 x = 1 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = x² − x + 4x = 1

b =

5.积分中等

计算 I = ∫₁³ x·ln x dx。

∫₁³ x ln x dx

I =

6.积分困难

求由 y = 0.5x² 和 y = x 围成区域的面积 A。

y = 0.5x²y = x

A =

7.复数中等

把 z = 10∠−130° 写成直角坐标形式 a + jb，并给出虚部 b。

r = 10θ = −130°

b =

8.复数困难

n = 6、w = 729∠−120° 时，zⁿ = w 的根为 z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n)，k = 0, 1, …, 5。求 z₀ 的实部。

w = 729∠−120°n = 6k = 0

Re(z₀) =

9.微分方程中等

一杯 84 °C 的咖啡放在 21 °C 的房间里。 28 min 后其温度为 42 °C。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。求常数 k，以 min⁻¹ 计。

T₀ = 84 °CT_a = 21 °CT(28) = 42 °C

k = min⁻¹

10.微分方程困难

求解初值问题 y′ + 3y/x = 2，x > 0，y(1) = 5。求 y(2)。

y′ + 3y/x = 2y(1) = 5

y(2) =

11.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [2 1 −4; −1 4 1; −5 3 4]

det A =

12.矩阵与行列式困难

求所示矩阵 A 的较大特征值 λ。

A = [4 −1; −4 4]

λ =

13.向量：点积和叉积中等

求使向量 a = (5, −4, −1) 与 b = (k, 5, −2) 垂直的 k 的值。

a = (5, −4, −1)b = (k, 5, −2)

k =

14.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (−2, −1, 3) 和 b = (−1, −4, 5) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 y 分量 n̂_y。

a = (−2, −1, 3)b = (−1, −4, 5)n̂_z > 0

n̂_y =

15.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.2, 0.35, 0.25, 0.15, 0.05

Var(X) =

16.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 2X − 3。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.3, 0.1, 0.25, 0.35Y = 2X − 3

σ_Y =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：21, 28, 52, 27, 59。

n = 5

s =

18.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 100。求成绩 700 的 z 分数 z。

μ = 500σ = 100x = 700

z =

19.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.0287。求 z，保留两位小数。

A = 0.0287

z =

20.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.03 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.03 mm, σ = 0.01 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

3溶液

1.极限

答案: L = 0.01832

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

取对数

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 − 2/x)

求值

当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。

ln L = 2·(−2) = −4

还原对数

L = e⁻⁴ = 0.01832

答案

L = 0.01832

2.极限

答案: L = 4

洛必达法则

L = lim_x→0 [4/(1 + 4x)]/[cos x]

代入 x = 0

L = 4/1 = 4

答案

L = 4

3.导数

答案: f′(1.5) = 23.53

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(2x + 1·x²)

代入

f′(1.5) = 4.482·(3 + 2.25) = 23.53

答案

f′(1.5) = 23.53

4.导数

答案: b = 3

切点和斜率

f(1) = 4

f′(x) = 2x − 1 → f′(1) = 1

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 4 − 1·1 = 3

答案

b = 3

5.积分

答案: I = 2.944

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

选取 u 和 dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

原函数

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

极限

(4.5·ln 3 − 2.25) − (0 − 0.25) = 2.944

答案

I = 2.944

6.积分

答案: A = 0.6667

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

交点

0.5x² = x → x = 0, x = 2

对上减下积分

A = [0.5x² − 0.1667x³]₀² = 0.6667

答案

A = 0.6667

7.复数

答案: b = −7.66

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

分量

a = 10·cos(−130°) = −6.428

b = 10·sin(−130°) = −7.66

直角坐标形式

z = −6.428 − j7.66

b = −7.66

答案

b = −7.66

8.复数

答案: Re(z₀) = 2.819

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模

729^1/6 = 3

根的辐角

θ₀ = (−120° + 360°·0)/6 = −20°

直角坐标形式

z₀ = 3·(cos −20° + j sin −20°) = 2.819 − j1.026

Re(z₀) = 2.819

答案

Re(z₀) = 2.819

6 个根位于半径为 3 的圆上，彼此相隔 60°。

9.微分方程

答案: k = 0.03924 min⁻¹

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

温差之比

e^−28k = 21/63

解出 k

k = ln(63/21)/28 = 0.03924 min⁻¹

答案

k = 0.03924 min⁻¹

10.微分方程

答案: y(2) = 1.563

积分因子

μ = e^{∫3/x dx} = x³

积分

(x³y)′ = 2x³ → x³y = 2x⁴/4 + C

初始条件

5 = 2/4 + C → C = 4.5

求值

y(2) = (2·2⁴/4 + 4.5)/2³ = 1.563

答案

y(2) = 1.563

11.矩阵与行列式

答案: det A = −43

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = 13, M₁₂ = 1, M₁₃ = 17

代数余子式展开

det A = 2·13 − 1·1 + (−4)·17 = −43

答案

det A = −43

12.矩阵与行列式

答案: λ = 6

特征方程

λ² − (8)λ + (12) = 0

求解

λ = (8 ± √(16))/2 → λ = 2, 6

λ = 6

答案

λ = 6

13.向量：点积和叉积

答案: k = 3.6

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积等于零

a·b = 5·k + (−4)·5 + (−1)·(−2) = 0

−18 + 5·k = 0

解出 k

k = −(−18)/5 = 3.6

答案

k = 3.6

14.向量：点积和叉积

答案: n̂_y = 0.5774

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−1)·5 − 3·(−4) = 7

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 3·(−1) − (−2)·5 = 7

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−2)·(−4) − (−1)·(−1) = 7

归一化

a × b 的 z 分量已经为正。

|a × b| = √(7² + 7² + 7²) = 12.12

n̂ = (7, 7, 7)/12.12 = (0.5774, 0.5774, 0.5774)

n̂_y = 0.5774

答案

n̂_y = 0.5774

15.概率

答案: Var(X) = 1.25

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 1·0.2 + 2·0.35 + 3·0.25 + 4·0.15 + 5·0.05 = 2.5

平方的均值

E(X²) = 1·0.2 + 4·0.35 + 9·0.25 + 16·0.15 + 25·0.05 = 7.5

方差

Var(X) = 7.5 − 2.5² = 1.25

答案

Var(X) = 1.25

16.概率

答案: σ_Y = 24.72

X 的离散程度

μ = 26.5, Var(X) = 152.8, σ_X = 12.36

线性变换

σ_Y = |2|·12.36 = 24.72

答案

σ_Y = 24.72

均值确实会改变：E(Y) = 2·26.5 − 3 = 50。

17.描述统计

答案: s = 16.92

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 187/5 = 37.4

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−16.4)² + (−9.4)² + 14.6² + (−10.4)² + 21.6² = 1145

标准差

s = √(1145/4) = 16.92

答案

s = 16.92

18.描述统计

答案: z = 2

标准化

z = (700 − 500)/100 = 2

答案

z = 2

19.正态分布

答案: z = 1.9

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.0287 = 0.9713

反向查 z 表

在表中找到 0.9713，读出 z。

z = 1.90

答案

z = 1.90

20.正态分布

答案: P = 0.9515

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.01803 mm

标准化

z = (0 − 0.03)/0.01803 = −1.66

概率

P = 1 − Φ(−1.66) = 0.9515

答案

P = 0.9515

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