工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (1 − 1/x)^2x。给出小数值。

f(x) = (1 − 1/x)^2xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (1 − cos 5x)/(x²)，x 以弧度计。

f(x) = (1 − cos 5x)/(x²)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = (2x − 3)⁵。求 f′(−1)。

f(x) = (2x − 3)⁵x = −1

f′(−1) =

4.导数困难

设 f(x) = x³ − 12x − 6。求局部极大值点的 x 坐标 x。

f(x) = x³ − 12x − 6

x =

5.积分中等

计算 I = ∫₁⁴ 1/x dx。

f(x) = 1/x[1, 4]

I =

6.积分困难

求由 y = x² 和 y = 4x 围成区域的面积 A。

y = x²y = 4x

A =

7.复数中等

求 z = −6 + j3 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间的主值。

z = −6 + j3

θ = °

8.复数困难

n = 5、w = 243∠180° 时，zⁿ = w 的根为 z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n)，k = 0, 1, …, 4。求 z₃ 的虚部。

w = 243∠180°n = 5k = 3

Im(z₃) =

9.微分方程中等

一杯 90 °C 的咖啡放在 18 °C 的房间里。 16 min 后其温度为 41 °C。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。求常数 k，以 min⁻¹ 计。

T₀ = 90 °CT_a = 18 °CT(16) = 41 °C

k = min⁻¹

10.微分方程困难

一个水箱装有 500 L 水，其中溶有 20 kg 盐。每升含盐 0.2 kg 的盐水以 20 L/min 流入，混合均匀的溶液以相同流量流出。多少分钟 t 后水箱中含盐 60 kg？

V = 500 Lm₀ = 20 kgc = 0.2 kg/Lr = 20 L/min

t = min

11.矩阵与行列式中等

对所示矩阵令 C = AB。求元素 c₂₂（第 2 行，第 2 列）。

A = [1 2; −2 −2]B = [1 −5; −1 −4]

c₂₂ =

12.矩阵与行列式困难

解方程组 3x + 2y = −10 和 4x − 4y = −10。求 x。

3x + 2y = −104x − 4y = −10

x =

13.向量：点积和叉积中等

求 a = (−5, −3, 2) 在 b = (−5, 0, 3) 上的标量投影 comp_b a，也就是 a 在 b 方向上的分量。

a = (−5, −3, 2)b = (−5, 0, 3)

comp_b a =

14.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (1, −5, −1) 和 b = (−5, 5, 0) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 y 分量 n̂_y。

a = (1, −5, −1)b = (−5, 5, 0)n̂_z > 0

n̂_y =

15.概率中等

从 12 人中选出 5 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 12k = 5

N =

16.概率困难

一份测试有 5 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.7，相互独立。恰好答对 1 题的概率 P 是多少？

n = 5p = 0.7k = 1

P =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：39, 47, 56, 12, 28, 15。

n = 6

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 10。数值低于 110 的比例 P 是多少？

μ = 100σ = 10x = 110

P =

19.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.9676。求 z，保留两位小数。

A = 0.9676

z =

20.正态分布困难

运动员 A 的单圈时间 X 与运动员 B 的单圈时间 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 52 s，标准差为 4 s，Y 的均值为 48 s，标准差为 3 s。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

3溶液

1.极限

答案: L = 0.1353

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

取对数

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 − 1/x)

求值

当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。

ln L = 2·(−1) = −2

还原对数

L = e⁻² = 0.1353

答案

L = 0.1353

2.极限

答案: L = 12.5

第一次应用

5·sin 5x/(2x) → 0/0

第二次应用

25·cos 5x/2

代入 x = 0

L = 25/2 = 12.5

答案

L = 12.5

3.导数

答案: f′(−1) = 6250

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

链式法则

f′(x) = 5·(2x − 3)⁴·2

代入

f′(−1) = 5·(−5)⁴·2 = 6250

答案

f′(−1) = 6250

4.导数

答案: x = −2

导数

f′(x) = 3x² − 12 = 3·(x² − 4)

解 f′(x) = 0

x = −2 或 x = 2

判断哪个是哪个

f″(x) = 6x：在极大值处为负，在极小值处为正。

f″(−2) = −12, f″(2) = 12

x = −2

答案

x = −2

5.积分

答案: I = 1.386

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = ln x

代入上下限

I = (ln 4 − ln 1) = ln 4 = 1.386

答案

I = 1.386

6.积分

答案: A = 10.67

交点

x² = 4x → x = 0, x = 4

对上减下积分

A = [2x² − 0.3333x³]₀⁴ = 10.67

答案

A = 10.67

7.复数

答案: θ = 153.4 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

象限

a = −6, b = 3 → II

参考角

α = atan(3/6) = 26.57°

辐角

θ = 180° − α = 153.4°

答案

θ = 153.4°

极坐标形式为 z = 6.708∠153.4°。

8.复数

答案: Im(z₃) = −2.853

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模

243^1/5 = 3

根的辐角

θ₃ = (180° + 360°·3)/5 = 252° → −108°

直角坐标形式

z₃ = 3·(cos −108° + j sin −108°) = −0.9271 − j2.853

Im(z₃) = −2.853

答案

Im(z₃) = −2.853

5 个根位于半径为 3 的圆上，彼此相隔 72°。

9.微分方程

答案: k = 0.07132 min⁻¹

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

温差之比

e^−16k = 23/72

解出 k

k = ln(72/23)/16 = 0.07132 min⁻¹

答案

k = 0.07132 min⁻¹

10.微分方程

答案: t = 17.33 min

结果

m(t) = 100 + (−80)·e^−t/25

解出 t

e^−t/25 = (100 − 60)/(100 − 20) = 0.5

t = 25·ln(2) = 17.33 min

答案

t = 17.33 min

11.矩阵与行列式

答案: c₂₂ = 18

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

行乘列

c₂₂ = (−2)·(−5) + (−2)·(−4) = 18

答案

c₂₂ = 18

12.矩阵与行列式

答案: x = −3

系数矩阵的行列式

det A = 3·(−4) − 2·4 = −20

替换 x 列

det Aₓ = (−10)·(−4) − 2·(−10) = 60

x = 60/(−20) = −3

答案

x = −3

y = −0.5

13.向量：点积和叉积

答案: comp_b a = 5.316

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−5)·(−5) + (−3)·0 + 2·3 = 31

b 的长度

|b| = √((−5)² + 0² + 3²) = 5.831

标量投影

comp_b a = a·b/|b| = 31/5.831 = 5.316

答案

comp_b a = 5.316

14.向量：点积和叉积

答案: n̂_y = −0.2357

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−5)·0 − (−1)·5 = 5

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−1)·(−5) − 1·0 = 5

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 1·5 − (−5)·(−5) = −20

归一化

a × b 的 z 分量为负，所以要用 −(a × b)。

|a × b| = √(5² + 5² + (−20)²) = 21.21

n̂ = −(5, 5, −20)/21.21 = (−0.2357, −0.2357, 0.9428)

n̂_y = −0.2357

答案

n̂_y = −0.2357

15.概率

答案: N = 792

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(12, 5) = (12·11·10·9·8)/(5·4·3·2·1) = 792

答案

N = 792

16.概率

答案: P = 0.02835

二项分布公式

P(X = 1) = 5·0.7¹·0.3⁴ = 5·0.7·0.0081 = 0.02835

答案

P = 0.02835

17.描述统计

答案: s = 17.61

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 197/6 = 32.83

离差平方

Σ(x − x̄)² = 6.167² + 14.17² + 23.17² + (−20.83)² + (−4.833)² + (−17.83)² = 1551

标准差

s = √(1551/5) = 17.61

答案

s = 17.61

18.描述统计

答案: P = 0.8413

标准化

z = 1

标准正态分布表

Φ(1) = 0.8413

P = 0.8413

答案

P = 0.8413

19.正态分布

答案: z = 2.14

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.9676)/2 = 0.9838

反向查 z 表

在表中找到 0.9838，读出 z。

z = 2.14

答案

z = 2.14

20.正态分布

答案: P = 0.7881

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

标准化

z = (0 − 4)/5 = −0.8

概率

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

答案

P = 0.7881

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