工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (1 + 2/x)^3x。给出小数值。

f(x) = (1 + 2/x)^3xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (e^−x − 1 + x)/x²。

f(x) = (e^−x − 1 + x)/x²x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x·e^x。求 f′(0.5)。

f(x) = x·e^xx = 0.5

f′(0.5) =

4.导数困难

设 f(x) = x³ − 4.5x² + 6x − 2。求局部极大值点的 x 坐标 x。

f(x) = x³ − 4.5x² + 6x − 2

x =

5.积分中等

计算 I = ∫₁² 3/x dx。

f(x) = 3/x[1, 2]

I =

6.积分困难

求由 y = x² 和 y = 2x 围成区域的面积 A。

y = x²y = 2x

A =

7.复数中等

把 z = 2∠50° 写成直角坐标形式 a + jb，并给出虚部 b。

r = 2θ = 50°

b =

8.复数困难

n = 4、w = 16∠60° 时，zⁿ = w 的根为 z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n)，k = 0, 1, 2, 3。求 z₀ 的辐角，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间。

w = 16∠60°n = 4k = 0

θ₀ = °

9.微分方程中等

解 y″ + 6y′ + 9y = 0，其中 y(0) = 1，y′(0) = 1。求 y(0.5)。

y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 1y′(0) = 1

y(0.5) =

10.微分方程困难

求解初值问题 y′ + 3y/x = 6x²，x > 0，y(1) = 3。求 y(3)。

y′ + 3y/x = 6x²y(1) = 3

y(3) =

11.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [−4 1 4; −2 3 −4; 3 0 0]

det A =

12.矩阵与行列式困难

解方程组 −6x + 2y = 3 和 3x + y = −1。求 x。

−6x + 2y = 33x + y = −1

x =

13.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (6, 3, 5) 与 b = (−3, −5, 5) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (6, 3, 5)b = (−3, −5, 5)

θ = °

14.向量：点积和叉积困难

对于 a = (−3, −5, −5) 和 b = (−6, 5, −6)，求叉积 a × b 的 x 分量 (a × b)_x。

a = (−3, −5, −5)b = (−6, 5, −6)

(a × b)_x =

15.概率中等

袋中有 8 个红球和 6 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

8 / 6

P =

16.概率困难

一局游戏的参与费用为 €5。你以概率 0.2 赢得 €20，以概率 0.02 赢得 €250；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €5€20: p = 0.2€250: p = 0.02

E(G) = €

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：33, 37, 20, 31, 40。

n = 5

s =

18.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 60。求成绩 536 的 z 分数 z。

μ = 500σ = 60x = 536

z =

19.正态分布中等

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。介于 438 和 550 h 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 500σ = 40x₁ = 438x₂ = 550

P =

20.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 95% 的数据低于它（第 95 百分位数）。

μ = 100σ = 15P = 95%

x = 分

3溶液

1.极限

答案: L = 403.4

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

取对数

ln L = lim_x→∞ 3·x·ln(1 + 2/x)

求值

当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。

ln L = 3·2 = 6

还原对数

L = e⁶ = 403.4

答案

L = 403.4

2.极限

答案: L = 0.5

第一次应用

(−1·e^−x + 1)/(2x) → 0/0

第二次应用

1·e^−x/2

代入 x = 0

L = 1·1/2 = 0.5

答案

L = 0.5

3.导数

答案: f′(0.5) = 2.473

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(1 + 1·x)

代入

f′(0.5) = 1.649·(1 + 0.5) = 2.473

答案

f′(0.5) = 2.473

4.导数

答案: x = 1

导数

f′(x) = 3x² − 9x + 6 = 3·(x² − 3x + 2)

解 f′(x) = 0

x = 1 或 x = 2

判断哪个是哪个

f″(x) = 6x − 9：在极大值处为负，在极小值处为正。

f″(1) = −3, f″(2) = 3

x = 1

答案

x = 1

5.积分

答案: I = 2.079

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = 3·ln x

代入上下限

I = 3·(ln 2 − ln 1) = 3·ln 2 = 2.079

答案

I = 2.079

6.积分

答案: A = 1.333

交点

x² = 2x → x = 0, x = 2

对上减下积分

A = [x² − 0.3333x³]₀² = 1.333

答案

A = 1.333

7.复数

答案: b = 1.532

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

分量

a = 2·cos(50°) = 1.286

b = 2·sin(50°) = 1.532

直角坐标形式

z = 1.286 + j1.532

b = 1.532

答案

b = 1.532

8.复数

答案: θ₀ = 15 °

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模

16^1/4 = 2

根的辐角

θ₀ = (60° + 360°·0)/4 = 15°

辐角

θ₀ = 15°

答案

θ₀ = 15°

4 个根位于半径为 2 的圆上，彼此相隔 90°。

9.微分方程

答案: y(0.5) = 0.6694

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

二重根

(r + 3)² = 0 → r = −3

常数

A = y(0) = 1

y′(0) = B − 3A → B = 1 + 3 = 4

求值

y(0.5) = (1 + 4·0.5)·e^−1.5 = 0.6694

答案

y(0.5) = 0.6694

10.微分方程

答案: y(3) = 27.07

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

积分因子

μ = e^{∫3/x dx} = x³

积分

(x³y)′ = 6x⁵ → x³y = 6x⁶/6 + C

初始条件

3 = 6/6 + C → C = 2

求值

y(3) = (6·3⁶/6 + 2)/3³ = 27.07

答案

y(3) = 27.07

11.矩阵与行列式

答案: det A = −48

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = 0, M₁₂ = 12, M₁₃ = −9

代数余子式展开

det A = (−4)·0 − 1·12 + 4·(−9) = −48

答案

det A = −48

12.矩阵与行列式

答案: x = −0.4167

系数矩阵的行列式

det A = (−6)·1 − 2·3 = −12

替换 x 列

det Aₓ = 3·1 − 2·(−1) = 5

x = 5/(−12) = −0.4167

答案

x = −0.4167

y = 0.25

13.向量：点积和叉积

答案: θ = 97.15 °

点积：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ，结果是标量。它可以给出两个向量的夹角 cos θ = a·b/(|a|·|b|)，两向量垂直时点积为零。a 在 b 上的标量投影是 a·b/|b|，恒力 F 使物体产生位移 d 时做的功为 W = F·d。

点积

a·b = 6·(−3) + 3·(−5) + 5·5 = −8

模

|a| = √(6² + 3² + 5²) = 8.367

|b| = √((−3)² + (−5)² + 5²) = 7.681

相角

cos θ = −8/(8.367·7.681) = −0.1245

θ = arccos(−0.1245) = 97.15°

答案

θ = 97.15°

14.向量：点积和叉积

答案: (a × b)_x = 55

叉积：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) 与两个向量都垂直，|a × b| = |a|·|b|·sin θ 是它们张成的平行四边形的面积（三角形面积是其一半）。顺序很重要：b × a = −(a × b)。作用在点 A 的力 F 对点 O 的力矩为 M_O = r × F，其中 r = A − O。

叉积，逐个分量计算

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−5)·(−6) − (−5)·5 = 55

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−5)·(−6) − (−3)·(−6) = 12

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−3)·5 − (−5)·(−6) = −45

所求分量

(a × b)_x = 55

答案

(a × b)_x = 55

检验：a × b 与两个向量都垂直，所以它与 a 和与 b 的点积都为零。

15.概率

答案: P = 0.3077

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 8/14 · 7/13 = 56/182 = 0.3077

答案

P = 0.3077

16.概率

答案: E(G) = 4 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 15 (p = 0.2), 245 (p = 0.02), −5 (p = 0.78)

期望值

E(G) = 15·0.2 + 245·0.02 − 5·0.78 = 4 €

答案

E(G) = 4 €

正值表示平均而言你会赢钱。

17.描述统计

答案: s = 7.662

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 161/5 = 32.2

离差平方

Σ(x − x̄)² = 0.8² + 4.8² + (−12.2)² + (−1.2)² + 7.8² = 234.8

标准差

s = √(234.8/4) = 7.662

答案

s = 7.662

18.描述统计

答案: z = 0.6

标准化

z = (536 − 500)/60 = 0.6

答案

z = 0.6

19.正态分布

答案: P = 0.8338

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (438 − 500)/40 = −1.55

z₂ = (550 − 500)/40 = 1.25

中间面积

P = Φ(1.25) − Φ(−1.55) = 0.8944 − 0.06057 = 0.8338

答案

P = 0.8338

20.正态分布

答案: x = 124.7 分

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.95 → z = 1.645

换算回 x

x = 100 + 1.645·15 = 124.67 分

答案

x = 124.67 分

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