工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (√(x² − 6x) − x)。

f(x) = √(x² − 6x) − xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (1 − cos 4x)/(3x²)，x 以弧度计。

f(x) = (1 − cos 4x)/(3x²)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x·sin(3x)，x 以弧度计。求 f′(1)。

f(x) = x·sin(3x)x = 1 rad

f′(1) =

4.导数困难

设 f(x) = x³ − 3x² − 5。求局部极小值点的 x 坐标 x。

f(x) = x³ − 3x² − 5

x =

5.积分中等

计算 I = ∫₁⁵ 3/x dx。

f(x) = 3/x[1, 5]

I =

6.积分困难

求由 y = 2x² 和 y = x 围成区域的面积 A。

y = 2x²y = x

A =

7.复数中等

数 z = 4·e^j0.8 的角度以弧度为单位。求它的虚部 b。

r = 4θ = 0.8 rad

b =

8.复数困难

A–D 各点中恰有一个是 z³ = 27∠120° 的根。点选它。

w = 27∠120°n = 3

1A (5.4∠−80°)
2B (3∠120°)
3C (3∠80°)
4D (3∠−80°)

9.微分方程中等

一个 380 °C 的钢锻件放在 28 °C 的车间里冷却。 57 min 后其温度为 141 °C。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。从开始算起需要多长时间 t 才能达到 284 °C？

T₀ = 380 °CT_a = 28 °CT(57) = 141 °CT = 284 °C

t = min

10.微分方程困难

求解 y′ + y = 6e^−3t，y(0) = 5。求 y(2)。

y′ + y = 6e^−3ty(0) = 5

y(2) =

11.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [−5 0 −2; −3 −2 −4; 1 3 0]

det A =

12.矩阵与行列式困难

求所示矩阵 A 的较大特征值 λ。

A = [5 −4; 1 0]

λ =

13.向量：点积和叉积中等

求使向量 a = (2, −4, −5) 与 b = (5, k, 4) 垂直的 k 的值。

a = (2, −4, −5)b = (5, k, 4)

k =

14.向量：点积和叉积困难

对于 a = (−3, −4, −6) 和 b = (−2, 4, 5)，求叉积 a × b 的 y 分量 (a × b)_y。

a = (−3, −4, −6)b = (−2, 4, 5)

(a × b)_y =

15.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.2, 0.1, 0.3, 0.05, 0.35

Var(X) =

16.概率困难

一份测试有 6 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.5，相互独立。恰好答对 2 题的概率 P 是多少？

n = 6p = 0.5k = 2

P =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：47, 44, 49, 26, 53, 22, 58。

n = 7

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 5。数值低于 172 的比例 P 是多少？

μ = 170σ = 5x = 172

P =

19.正态分布中等

X 服从均值 120 mm、标准差 0.3 mm 的正态分布；Y 独立，服从均值 80 mm、标准差 0.4 mm 的正态分布。求 X + Y 大于 200.8 mm 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 120, σ_X = 0.3μ_Y = 80, σ_Y = 0.4X + Y > 200.8 mm

P =

20.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的前 75% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 250 gσ = 5 g75%

x = g

3溶液

1.极限

答案: L = −3

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

乘以共轭式

f(x) = −6x/(√(x² − 6x) + x)

除以 x

f(x) = −6/(√(1 + (−6)/x) + 1)

令 x → ∞

L = −6/(1 + 1) = −3

答案

L = −3

2.极限

答案: L = 2.667

第一次应用

4·sin 4x/(6x) → 0/0

第二次应用

16·cos 4x/6

代入 x = 0

L = 16/6 = 2.667

答案

L = 2.667

3.导数

答案: f′(1) = −2.829

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则与链式法则

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

代入

f′(1) = 0.1411 + 3·(−0.99) = −2.829

答案

f′(1) = −2.829

4.导数

答案: x = 2

导数

f′(x) = 3x² − 6x = 3·(x² − 2x)

解 f′(x) = 0

x = 0 或 x = 2

判断哪个是哪个

f″(x) = 6x − 6：在极大值处为负，在极小值处为正。

f″(0) = −6, f″(2) = 6

x = 2

答案

x = 2

5.积分

答案: I = 4.828

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = 3·ln x

代入上下限

I = 3·(ln 5 − ln 1) = 3·ln 5 = 4.828

答案

I = 4.828

6.积分

答案: A = 0.04167

交点

2x² = x → x = 0, x = 0.5

对上减下积分

A = [0.5x² − 0.6667x³]₀^0.5 = 0.04167

答案

A = 0.04167

7.复数

答案: b = 2.869

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

欧拉公式

z = 4·(cos 0.8 + j sin 0.8)

分量（弧度）

a = 4·cos 0.8 = 2.787

b = 4·sin 0.8 = 2.869

b = 2.869

答案

b = 2.869

8.复数

答案: D (3∠−80°)

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模与辐角

|z| = 3

θ = 40°, 160°, −80°

该点

D = 3∠−80°

答案

D (3∠−80°)

9.微分方程

答案: t = 15.98 min

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却常数

k = ln(352/113)/57 = 0.01993 min⁻¹

达到目标温度的时间

t = ln(352/256)/0.01993 = 15.98 min

答案

t = 15.98 min

10.微分方程

答案: y(2) = 1.075

积分因子

μ = e^t

(e^ty)′ = 6e^−2t

通解

y = 6/(−2)·e^−3t + C·e^−t = −3·e^−3t + C·e^−t

初始条件

5 = −3 + C → C = 8

求值

y(2) = −3·0.002479 + 8·0.1353 = 1.075

答案

y(2) = 1.075

11.矩阵与行列式

答案: det A = −46

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = 12, M₁₂ = 4, M₁₃ = −7

代数余子式展开

det A = (−5)·12 − 0·4 + (−2)·(−7) = −46

答案

det A = −46

12.矩阵与行列式

答案: λ = 4

特征方程

λ² − (5)λ + (4) = 0

求解

λ = (5 ± √(9))/2 → λ = 1, 4

λ = 4

答案

λ = 4

13.向量：点积和叉积

答案: k = −2.5

点积：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ，结果是标量。它可以给出两个向量的夹角 cos θ = a·b/(|a|·|b|)，两向量垂直时点积为零。a 在 b 上的标量投影是 a·b/|b|，恒力 F 使物体产生位移 d 时做的功为 W = F·d。

点积等于零

a·b = 2·5 + (−4)·k + (−5)·4 = 0

−10 + (−4)·k = 0

解出 k

k = −(−10)/(−4) = −2.5

答案

k = −2.5

14.向量：点积和叉积

答案: (a × b)_y = 27

叉积：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) 与两个向量都垂直，|a × b| = |a|·|b|·sin θ 是它们张成的平行四边形的面积（三角形面积是其一半）。顺序很重要：b × a = −(a × b)。作用在点 A 的力 F 对点 O 的力矩为 M_O = r × F，其中 r = A − O。

叉积，逐个分量计算

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−4)·5 − (−6)·4 = 4

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−6)·(−2) − (−3)·5 = 27

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−3)·4 − (−4)·(−2) = −20

所求分量

(a × b)_y = 27

答案

(a × b)_y = 27

检验：a × b 与两个向量都垂直，所以它与 a 和与 b 的点积都为零。

15.概率

答案: Var(X) = 2.287

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 1·0.2 + 2·0.1 + 3·0.3 + 4·0.05 + 5·0.35 = 3.25

平方的均值

E(X²) = 1·0.2 + 4·0.1 + 9·0.3 + 16·0.05 + 25·0.35 = 12.85

方差

Var(X) = 12.85 − 3.25² = 2.287

答案

Var(X) = 2.287

16.概率

答案: P = 0.2344

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

二项分布公式

P(X = 2) = 15·0.5²·0.5⁴ = 15·0.25·0.0625 = 0.2344

答案

P = 0.2344

17.描述统计

答案: s = 13.59

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 299/7 = 42.71

离差平方

Σ(x − x̄)² = 4.286² + 1.286² + 6.286² + (−16.71)² + 10.29² + (−20.71)² + 15.29² = 1107

标准差

s = √(1107/6) = 13.59

答案

s = 13.59

18.描述统计

答案: P = 0.6554

标准化

z = 0.4

标准正态分布表

Φ(0.4) = 0.6554

P = 0.6554

答案

P = 0.6554

19.正态分布

答案: P = 0.0548

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

标准化

z = (200.8 − 200)/0.5 = 1.6

上尾

P = 1 − Φ(1.6) = 1 − 0.9452 = 0.0548

答案

P = 0.0548

20.正态分布

答案: x = 246.7 g

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.25

由表得到的 z

z ≈ −0.67

回到原来的单位

x = 250 − 0.67·5 = 246.7 g

答案

x = 246.7 g

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