工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (−6x² − 4x + 4)/(x² + 4x + 8)。

f(x) = (−6x² − 4x + 4)/(x² + 4x + 8)x → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (e^0.5x − 1 − 0.5x)/x²。

f(x) = (e^0.5x − 1 − 0.5x)/x²x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x·sin(x)，x 以弧度计。求 f′(1.5)。

f(x) = x·sin(x)x = 1.5 rad

f′(1.5) =

4.导数困难

f(x) = 2x² + 2x − 2 在 x = 2 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = 2x² + 2x − 2x = 2

b =

5.积分中等

计算 I = ∫₁⁵ x·ln x dx。

∫₁⁵ x ln x dx

I =

6.积分困难

求抛物线 y = 4 − x² 与 x 轴之间区域的面积 A。

y = 4 − x²

A =

7.复数中等

把 z = 2.5∠−130° 写成直角坐标形式 a + jb，并给出虚部 b。

r = 2.5θ = −130°

b =

8.复数困难

A–D 各点中恰有一个是 z⁶ = 64∠−90° 的根。点选它。

w = 64∠−90°n = 6

1A (2∠−90°)
2B (2∠135°)
3C (2∠105°)
4D (3.6∠135°)

9.微分方程中等

一杯 92 °C 的咖啡放在 20 °C 的房间里。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。已知 k = 0.09 min⁻¹，求 17 min 后的温度 T。

T₀ = 92 °CT_a = 20 °Ck = 0.09 min⁻¹t = 17 min

T = °C

10.微分方程困难

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 4y′ + 8y = 40，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求 y(1)；角度以弧度为单位。

y″ + 4y′ + 8y = 40y(0) = 0y′(0) = 0

y(1) =

11.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [4 1 4; −3 −4 −4; 1 1 −5]

det A =

12.矩阵与行列式困难

解方程组 3x + 4y = 9 和 2x − 5y = 10。求 x。

3x + 4y = 92x − 5y = 10

x =

13.向量：点积和叉积中等

求 a = (−4, 6, −3) 与 b = (−7, 1, 0) 的点积 a·b。

a = (−4, 6, −3)b = (−7, 1, 0)

a·b =

14.向量：点积和叉积困难

求顶点为 A(0, 0, 3)、B(0, 3, −4)、C(4, 1, 0) 的三角形的面积 A。坐标单位为米。

A(0, 0, 3)B(0, 3, −4)C(4, 1, 0)

A = m²

15.概率中等

袋中有 6 个红球和 5 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

6 / 5

P =

16.概率困难

一局游戏的参与费用为 €1。你以概率 0.15 赢得 €3，以概率 0.02 赢得 €20；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €1€3: p = 0.15€20: p = 0.02

E(G) = €

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：57, 44, 26, 57, 27, 47。

n = 6

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 10。数值低于 62.5 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 10x = 62.5

P =

19.正态分布中等

X 服从均值 250 g、标准差 4 g 的正态分布；Y 独立，服从均值 500 g、标准差 9 g 的正态分布。求 X + Y 大于 735.2 g 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 735.2 g

P =

20.正态分布困难

1 号生产线产品的质量 X 与 2 号生产线产品的质量 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 500 g，标准差为 8 g，Y 的均值为 490 g，标准差为 6 g。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

3溶液

1.极限

答案: L = −6

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

除以最高次幂

(−6 + (−4)/x + 4/x²)/(1 + 4/x + 8/x²)

令 x → ∞

L = −6/1 = −6

答案

L = −6

次数相同时，极限为首项系数之比。

2.极限

答案: L = 0.125

第一次应用

(0.5·e^0.5x − 0.5)/(2x) → 0/0

第二次应用

0.25·e^0.5x/2

代入 x = 0

L = 0.25·1/2 = 0.125

答案

L = 0.125

3.导数

答案: f′(1.5) = 1.104

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则与链式法则

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

代入

f′(1.5) = 0.9975 + 1.5·0.07074 = 1.104

答案

f′(1.5) = 1.104

4.导数

答案: b = −10

切点和斜率

f(2) = 10

f′(x) = 4x + 2 → f′(2) = 10

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 10 − 10·2 = −10

答案

b = −10

5.积分

答案: I = 14.12

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

选取 u 和 dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

原函数

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

极限

(12.5·ln 5 − 6.25) − (0 − 0.25) = 14.12

答案

I = 14.12

6.积分

答案: A = 10.67

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

零点

4 − x² = 0 → x = ±2

积分

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5.333 − (−5.333) = 10.67

答案

A = 10.67

7.复数

答案: b = −1.915

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

分量

a = 2.5·cos(−130°) = −1.607

b = 2.5·sin(−130°) = −1.915

直角坐标形式

z = −1.607 − j1.915

b = −1.915

答案

b = −1.915

8.复数

答案: C (2∠105°)

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模与辐角

|z| = 2

θ = −15°, 45°, 105°, 165°, −135°, −75°

该点

C = 2∠105°

答案

C (2∠105°)

9.微分方程

答案: T = 35.59 °C

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却定律的解

T(t) = 20 + 72·e^−0.09t

代入 t

T(17) = 20 + 72·0.2165 = 35.59 °C

答案

T = 35.59 °C

10.微分方程

答案: y(1) = 4.666

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

稳态值与根

y_ss = 5, r = −2 ± 2j

由初值求常数

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −2A + 2B = 0 → B = −5

求值

y(1) = 5·(1 − e⁻²(cos 2 + 1·sin 2)) = 4.666

答案

y(1) = 4.666

11.矩阵与行列式

答案: det A = 81

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = 24, M₁₂ = 19, M₁₃ = 1

代数余子式展开

det A = 4·24 − 1·19 + 4·1 = 81

答案

det A = 81

12.矩阵与行列式

答案: x = 3.696

系数矩阵的行列式

det A = 3·(−5) − 4·2 = −23

替换 x 列

det Aₓ = 9·(−5) − 4·10 = −85

x = −85/(−23) = 3.696

答案

x = 3.696

y = −0.5217

13.向量：点积和叉积

答案: a·b = 34

点积：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ，结果是标量。它可以给出两个向量的夹角 cos θ = a·b/(|a|·|b|)，两向量垂直时点积为零。a 在 b 上的标量投影是 a·b/|b|，恒力 F 使物体产生位移 d 时做的功为 W = F·d。

对应分量相乘再相加

a·b = (−4)·(−7) + 6·1 + (−3)·0 = 28 + 6 + 0 = 34

答案

a·b = 34

为正：两向量的夹角小于 90°。

14.向量：点积和叉积

答案: A = 15.26 m²

叉积：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) 与两个向量都垂直，|a × b| = |a|·|b|·sin θ 是它们张成的平行四边形的面积（三角形面积是其一半）。顺序很重要：b × a = −(a × b)。作用在点 A 的力 F 对点 O 的力矩为 M_O = r × F，其中 r = A − O。

边向量

AB = B − A = (0, 3, −7)

AC = C − A = (4, 1, −3)

叉积

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 3·(−3) − (−7)·1 = −2

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−7)·4 − 0·(−3) = −28

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 0·1 − 3·4 = −12

|AB × AC| = √((−2)² + (−28)² + (−12)²) = 30.53

三角形的面积

A = ½·30.53 = 15.26 m²

答案

A = 15.26 m²

15.概率

答案: P = 0.2727

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 6/11 · 5/10 = 30/110 = 0.2727

答案

P = 0.2727

16.概率

答案: E(G) = −0.15 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 2 (p = 0.15), 19 (p = 0.02), −1 (p = 0.83)

期望值

E(G) = 2·0.15 + 19·0.02 − 1·0.83 = −0.15 €

答案

E(G) = −0.15 €

负值表示平均而言你会亏钱。

17.描述统计

答案: s = 13.81

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 258/6 = 43

离差平方

Σ(x − x̄)² = 14² + 1² + (−17)² + 14² + (−16)² + 4² = 954

标准差

s = √(954/5) = 13.81

答案

s = 13.81

18.描述统计

答案: P = 0.8944

标准化

z = 1.25

标准正态分布表

Φ(1.25) = 0.8944

P = 0.8944

答案

P = 0.8944

19.正态分布

答案: P = 0.9332

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

标准化

z = (735.2 − 750)/9.849 = −1.5

上尾

P = 1 − Φ(−1.5) = 1 − 0.06681 = 0.9332

答案

P = 0.9332

20.正态分布

答案: P = 0.8413

差的分布

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

标准化

z = (0 − 10)/10 = −1

概率

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

答案

P = 0.8413

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