工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (√(x² + 10x) − x)。

f(x) = √(x² + 10x) − xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (e^2x − 1 − 2x)/x²。

f(x) = (e^2x − 1 − 2x)/x²x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = ln(x² + 4)。求 f′(2)。

f(x) = ln(x² + 4)x = 2

f′(2) =

4.导数困难

f(x) = −x² + 2x − 6 在 x = 1 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = −x² + 2x − 6x = 1

b =

5.积分中等

计算 I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)¹ dx。

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 1]

I =

6.积分困难

计算 I = ∫₀¹ x²·eˣ dx。

∫₀¹ x²eˣ dx

I =

7.复数中等

数 z = 4·e^−j2.5 的角度以弧度为单位。求它的虚部 b。

r = 4θ = −2.5 rad

b =

8.复数困难

n = 3、w = 8∠−90° 时，zⁿ = w 的根为 z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n)，k = 0, 1, 2。求 z₀ 的虚部。

w = 8∠−90°n = 3k = 0

Im(z₀) =

9.微分方程中等

解 y″ + 2y′ + y = 0，其中 y(0) = 2，y′(0) = 2。求 y(2)。

y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 2y′(0) = 2

y(2) =

10.微分方程困难

解 y″ + 3y′ + 27.25y = 0，其中 y(0) = 5，y′(0) = 0（从静止释放）。求 y(0.75)；角度以弧度为单位。

y″ + 3y′ + 27.25y = 0y(0) = 5y′(0) = 0

y(0.75) =

11.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [3 5 −5; 4 3 −4; 3 −3 4]

det A =

12.矩阵与行列式困难

解方程组 −5x − 4y = −3 和 3x − 5y = −7。求 x。

−5x − 4y = −33x − 5y = −7

x =

13.向量：点积和叉积中等

一个恒力 F = (0, 15, 20) N 作用在物体上，物体沿直线从点 A(−5, −5, 4) 运动到点 B(2, −4, −1)。坐标单位为米。求该力所做的功 W。

F = (0, 15, 20) NA(−5, −5, 4) mB(2, −4, −1) m

W = J

14.向量：点积和叉积困难

求顶点为 A(−2, −1, −4)、B(0, −1, 1)、C(−1, 3, 2) 的三角形的面积 A。坐标单位为米。

A(−2, −1, −4)B(0, −1, 1)C(−1, 3, 2)

A = m²

15.概率中等

从 9 人中选出 2 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 9k = 2

N =

16.概率困难

一份测试有 11 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.7，相互独立。恰好答对 4 题的概率 P 是多少？

n = 11p = 0.7k = 4

P =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：32, 35, 50, 26, 15, 29, 29。

n = 7

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 60，标准差为 8。数值高于 70 的比例 P 是多少？

μ = 60σ = 8x = 70

P =

19.正态分布中等

X 服从均值 250 g、标准差 4 g 的正态分布；Y 独立，服从均值 500 g、标准差 9 g 的正态分布。求 X + Y 大于 754.9 g 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 754.9 g

P =

20.正态分布困难

1 号生产线产品的质量 X 与 2 号生产线产品的质量 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 500 g，标准差为 8 g，Y 的均值为 490 g，标准差为 6 g。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

3溶液

1.极限

答案: L = 5

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

乘以共轭式

f(x) = 10x/(√(x² + 10x) + x)

除以 x

f(x) = 10/(√(1 + 10/x) + 1)

令 x → ∞

L = 10/(1 + 1) = 5

答案

L = 5

2.极限

答案: L = 2

第一次应用

(2·e^2x − 2)/(2x) → 0/0

第二次应用

4·e^2x/2

代入 x = 0

L = 4·1/2 = 2

答案

L = 2

3.导数

答案: f′(2) = 0.5

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

对数的链式法则

f′(x) = 2x/(x² + 4)

代入

f′(2) = 4/8 = 0.5

答案

f′(2) = 0.5

4.导数

答案: b = −5

切点和斜率

f(1) = −5

f′(x) = −2x + 2 → f′(1) = 0

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −5 − 0·1 = −5

答案

b = −5

5.积分

答案: I = 1.5

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

换元

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u¹ du

积分并代入上下限

I = [u²/2]₁² = (4 − 1)/2 = 1.5

答案

I = 1.5

6.积分

答案: I = 0.7183

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

第一轮

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

第二轮

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

极限

2.718·(1) − 1·2 = 0.7183

答案

I = 0.7183

7.复数

答案: b = −2.394

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

欧拉公式

z = 4·(cos −2.5 + j sin −2.5)

分量（弧度）

a = 4·cos −2.5 = −3.205

b = 4·sin −2.5 = −2.394

b = −2.394

答案

b = −2.394

8.复数

答案: Im(z₀) = −1

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模

8^1/3 = 2

根的辐角

θ₀ = (−90° + 360°·0)/3 = −30°

直角坐标形式

z₀ = 2·(cos −30° + j sin −30°) = 1.732 − j1

Im(z₀) = −1

答案

Im(z₀) = −1

3 个根位于半径为 2 的圆上，彼此相隔 120°。

9.微分方程

答案: y(2) = 1.353

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

二重根

(r + 1)² = 0 → r = −1

常数

A = y(0) = 2

y′(0) = B − 1A → B = 2 + 2 = 4

求值

y(2) = (2 + 4·2)·e⁻² = 1.353

答案

y(2) = 1.353

10.微分方程

答案: y(0.75) = −1.61

复根

r = −1.5 ± 5j

常数

A = 5, B = 1.5·5/5 = 1.5

求值

y(0.75) = e^−1.125(5·cos 3.75 + 1.5·sin 3.75) = −1.61

答案

y(0.75) = −1.61

11.矩阵与行列式

答案: det A = −35

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = 0, M₁₂ = 28, M₁₃ = −21

代数余子式展开

det A = 3·0 − 5·28 + (−5)·(−21) = −35

答案

det A = −35

12.矩阵与行列式

答案: x = −0.3514

系数矩阵的行列式

det A = (−5)·(−5) − (−4)·3 = 37

替换 x 列

det Aₓ = (−3)·(−5) − (−4)·(−7) = −13

x = −13/37 = −0.3514

答案

x = −0.3514

y = 1.189

13.向量：点积和叉积

答案: W = −85 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

位移

d = B − A = (2, −4, −1) − (−5, −5, 4) = (7, 1, −5) m

功

W = F·d = 0·7 + 15·1 + 20·(−5) = −85 J

答案

W = −85 J

负功：力主要与运动方向相反。

14.向量：点积和叉积

答案: A = 11.32 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

边向量

AB = B − A = (2, 0, 5)

AC = C − A = (1, 4, 6)

叉积

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 0·6 − 5·4 = −20

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 5·1 − 2·6 = −7

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 2·4 − 0·1 = 8

|AB × AC| = √((−20)² + (−7)² + 8²) = 22.65

三角形的面积

A = ½·22.65 = 11.32 m²

答案

A = 11.32 m²

15.概率

答案: N = 36

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(9, 2) = (9·8)/(2·1) = 36

答案

N = 36

16.概率

答案: P = 0.01733

二项分布公式

P(X = 4) = 330·0.7⁴·0.3⁷ = 330·0.2401·0.0002187 = 0.01733

答案

P = 0.01733

17.描述统计

答案: s = 10.54

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 216/7 = 30.86

离差平方

Σ(x − x̄)² = 1.143² + 4.143² + 19.14² + (−4.857)² + (−15.86)² + (−1.857)² + (−1.857)² = 666.9

标准差

s = √(666.9/6) = 10.54

答案

s = 10.54

18.描述统计

答案: P = 0.1056

标准化

z = 1.25

标准正态分布表

Φ(1.25) = 0.8944

P = 1 − 0.8944 = 0.1056

答案

P = 0.1056

19.正态分布

答案: P = 0.3085

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

标准化

z = (754.9 − 750)/9.849 = 0.5

上尾

P = 1 − Φ(0.5) = 1 − 0.6915 = 0.3085

答案

P = 0.3085

20.正态分布

答案: P = 0.8413

差的分布

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

标准化

z = (0 − 10)/10 = −1

概率

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

答案

P = 0.8413

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