1 公式与方法循证实践统计学
灵敏度和特异度 Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值 PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度 (a + d)/n
似然比 LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值 比值 = p/(1 − p)； p = 比值/(1 + 比值)； 检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标 RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数 NNT = 1/ARR，向上取整； NNH = 1/(EER − CER)
比值比 OR = ad/(bc)
发病率 新发病例 / 人时 方法 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。 灵敏度和特异度沿列读取，预测值沿行读取。 对于另一个患病率，设想 10 000 人，并用 Se、Sp 和患病率填表。 对于似然比，把概率换算为比值，相乘，再换算回去。 对于试验，先求 EER 和 CER；然后 RR = EER/CER，ARR = CER − EER，NNT = 1/ARR 向上取整。 描述统计
平均数 x̄ = Σx/n
样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数 排序后数据的中间值
z 分数 z = (x − μ)/σ
正态分布 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内 置信区间
σ 已知 x̄ ± z·σ/√n
σ 未知 x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量 n = (z·σ/E)², rounded up 方法 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。 求该置信水平下的临界值。 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。 区间：x̄ ± E。 假设检验与置信区间
均值的 z 检验 z = (x̄ − μ0 )/(σ/√n)
均值的 t 检验 t = (x̄ − μ0 )/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间 x̄ ± z·σ/√n 方法 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。 与临界值比较，或求出 p 值。 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。 2 练习题1. 循证实践统计学 中等
事件 无事件 总数 治疗 12 388 400 a b 对照 36 684 720 c d
练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 在一项随机试验中，400 名患者接受新疗法，720 名接受对照治疗。表中显示每组有多少人出现了结局（如卒中等不良事件）。 求预防一次事件所需的治疗人数NNT 。 向上取整到整数患者。
治疗: 12/400 对照: 36/720
NNT =
2. 循证实践统计学 困难
检测 有疾病 无疾病 总数 正数 ? 负数 总数 10 000
练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 用灵敏度为 88%、特异度为 81% 的检测对 10 000 人进行筛查。该病的患病率为 29%。 预期会有多少真阳性结果TP ？
N = 10 000 p = 29% Se = 88% Sp = 81%
TP =
3. 描述统计 中等
15 20 25 30 35 40 45 50
求数据的样本标准差 s ：22, 54, 49, 13, 33, 33, 34。
n = 7
s =
4. 描述统计 困难
某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 8。数值低于 74.8 的比例 P 是多少？
μ = 70 σ = 8 x = 74.8
P =
5. 置信区间 中等
n = 25, s = 14.5 L U = ? x̄ = 73.5 E 95%
一个包含 25 个个体的样本，均值为 73.5，标准差 s = 14.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的上限。
n = 25 x̄ = 73.5 s = 14.5 95% t(24) = 2.064
上限 =
6. 置信区间 困难
n = 25 L σ = ? s = 6.7 95%
25 根机加工轴的直径样本标准差为 6.7 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ 。df = 24 时，χ² 分布有 2.5% 位于 12.401 以下，2.5% 位于 39.364 以上。
n = 25 s = 6.7 µm χ² = 12.401, 39.364
σ =
7. 假设检验与置信区间 中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：80 个零件的样本平均长度为 78 mm，该生产线的已知标准差为 4 mm。生产线 2：40 个零件的样本均值为 76.5 mm，已知标准差为 10 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z 。
n₁ = 80 x̄₁ = 78 mm σ₁ = 4 mm n₂ = 40 x̄₂ = 76.5 mm σ₂ = 10 mm
z =
8. 假设检验与置信区间 困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 200 名患者中有 140 人康复，接受治疗 B 的 100 名患者中有 83 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z 。
x₁ = 140 n₁ = 200 x₂ = 83 n₂ = 100
z =
3 溶液1. 循证实践统计学
答案: NNT = 50
似然比和风险指标： LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度)，LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中，EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率：RR = EER/CER，ARR = CER − EER，RRR = ARR/CER，NNT = 1/ARR，向上取整。在病例对照研究中，只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率（率）= 新发病例/人时。
事件发生率 EER = 12/400 = 0.03
CER = 36/720 = 0.05
需要治疗人数 ARR = 0.05 − 0.03 = 0.02
NNT = 1/0.02 = 50 → 50
2. 循证实践统计学
答案: TP = 2552
预测值取决于患病率： PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))，NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算：检验前比值 = p/(1 − p)，检验后比值 = 检验前比值 × LR，概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群，真阳性 = N·p·Se，假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR)，向上取整。
患病者和未患病者 10 000·0.29 = 2900
10 000 − 2900 = 7100
3. 描述统计
答案: s = 14.21
描述统计： 平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
离差平方 Σ(x − x̄)² = (−12)² + 20² + 15² + (−21)² + (−1)² + (−1)² + 0² = 1212
4. 描述统计
答案: P = 0.7257
描述统计： 平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准正态分布表 Φ(0.6) = 0.7257
P = 0.7257
5. 置信区间
答案: 上限 = 79.49
均值的置信区间： x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值 df = n − 1 = 24, t = 2.064
误差范围 E = 2.064·14.5/√25 = 5.986
区间 73.5 ± 5.986 → [67.51, 79.49]
6. 置信区间
答案: σ = 9.321 µm
方差的区间： (n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和 (n − 1)s² = 24·6.7² = 1077
σ² 的限值 1077/39.364 = 27.37
1077/12.401 = 86.88
σ 的 95% 区间：[5.232, 9.321] µm。
7. 假设检验与置信区间
答案: z = 0.9129
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误 SE = √(4²/80 + 10²/40) = √2.7 = 1.643
检验统计量 z = (78 − 76.5)/1.643 = 0.9129
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
8. 假设检验与置信区间
答案: z = −2.43
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例 p̂₁ = 140/200 = 0.7
p̂₂ = 83/100 = 0.83
p̂ = 223/300 = 0.7433
H₀ 下的标准误 SE = √(0.7433·0.2567·(1/200 + 1/100)) = 0.0535
检验统计量 z = (0.7 − 0.83)/0.0535 = −2.43
|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。