循证实践：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

循证实践统计学

灵敏度和特异度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度
(a + d)/n
似然比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值
比值 = p/(1 − p)； p = 比值/(1 + 比值)； 检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数
NNT = 1/ARR，向上取整； NNH = 1/(EER − CER)
比值比
OR = ad/(bc)
发病率
新发病例 / 人时

方法

  1. 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
  2. 灵敏度和特异度沿列读取，预测值沿行读取。
  3. 对于另一个患病率，设想 10 000 人，并用 Se、Sp 和患病率填表。
  4. 对于似然比，把概率换算为比值，相乘，再换算回去。
  5. 对于试验，先求 EER 和 CER；然后 RR = EER/CER，ARR = CER − EER，NNT = 1/ARR 向上取整。

描述统计

平均数
x̄ = Σx/n
样本标准差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数
排序后数据的中间值
z 分数
z = (x − μ)/σ
正态分布
68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

2练习题

1.循证实践统计学中等
人年14802.52802.532102.5新发病例50

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 在一项队列研究中，不同人群被随访了不同的时间长度（见表：每组的人数和随访年数）。随访期间发生了 50 例新发病例。求发病率IR，每 1000 人年。 保留一位小数。

480 × 2.5 年80 × 2.5 年210 × 2.5 年50 新发病例
IR = 每 1000 人年
2.循证实践统计学困难
p (%)PPV (%)5%PPV = ?100

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一项筛查检测的灵敏度为 97%，特异度为 90%。它用于患病率为 5% 的人群。 求阳性预测值PPV，以百分数表示。 保留一位小数。

Se = 97%Sp = 90%p = 5%
PPV = %
3.描述统计中等
152025303540455055

求数据的样本标准差 s：15, 13, 55, 28, 35, 40。

n = 6
s =
4.描述统计困难
z −2−1012

某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 20。数值高于 112 的比例 P 是多少？

μ = 100σ = 20x = 112
P =
5.置信区间中等
n = 6, s = 8L = ?Ux̄ = 32.5E99%

一个包含 6 个个体的样本，均值为 32.5，标准差 s = 8。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的下限。

n = 6x̄ = 32.5s = 899%t(5) = 4.032
下限 =
6.置信区间困难
p ≈ 0.15, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.0495%

一项预研究表明，约有 0.15 的产品有缺陷。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.04？

p ≈ 0.15E = 0.0495%
n =
7.假设检验与置信区间中等
−2.5712.571t = ?df = 5

6 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 −6.74，差值的标准差为 5.9。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。

n = 6d̄ = −6.74sd = 5.9
t =
8.假设检验与置信区间困难
z −1.9601.96

49 次测量的样本均值为 121.3。总体标准差为 4。求均值 95% 置信区间的上限 U。

x̄ = 121.3σ = 4n = 4995%
U =

3溶液

1.循证实践统计学

答案: IR = 26 每 1000 人年

似然比和风险指标：LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度)，LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中，EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率：RR = EER/CER，ARR = CER − EER，RRR = ARR/CER，NNT = 1/ARR，向上取整。在病例对照研究中，只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率（率）= 新发病例/人时。

人年

PY = 480·2.5 + 80·2.5 + 210·2.5 = 1925

发病率

IR = 50/1925·1000 = 26 每 1000 人年

答案

IR = 26 每 1000 人年
2.循证实践统计学

答案: PPV = 33.8 %

预测值取决于患病率：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))，NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算：检验前比值 = p/(1 − p)，检验后比值 = 检验前比值 × LR，概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群，真阳性 = N·p·Se，假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR)，向上取整。

真阳性和假阳性（按每人计）

Se·p = 0.97·0.05 = 0.0485
(1 − Sp)·(1 − p) = 0.1·0.95 = 0.095

阳性预测值

PPV = 0.0485/(0.0485 + 0.095) = 0.338 ≈ 33.8%

答案

PPV = 33.8%

患病率越低，同一检测的 PPV 越低。

3.描述统计

答案: s = 15.89

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 186/6 = 31

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−16)² + (−18)² + 24² + (−3)² + 4² + 9² = 1262

标准差

s = √(1262/5) = 15.89

答案

s = 15.89
4.描述统计

答案: P = 0.2743

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

标准化

z = 0.6

标准正态分布表

Φ(0.6) = 0.7257
P = 1 − 0.7257 = 0.2743

答案

P = 0.2743
5.置信区间

答案: 下限 = 19.33

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 5, t = 4.032

误差范围

E = 4.032·8/√6 = 13.17

区间

32.5 ± 13.17 → [19.33, 45.67]

答案

下限 = 19.33
6.置信区间

答案: n = 307

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

解出 n

n = 1.96²·0.15·0.85/0.04² = 306.1

向上取整

n = 307

答案

n = 307
7.假设检验与置信区间

答案: t = −2.798

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

平均差值的标准误

SE = 5.9/√6 = 2.409

检验统计量

t = −6.74/2.409 = −2.798

答案

t = −2.798

df = 5 时，双侧 5% 的临界值为 2.571；|t| 更大，所以拒绝 H₀。

8.假设检验与置信区间

答案: U = 122.4

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

误差范围

E = 1.96·4/√49 = 1.12

区间端点

U = 121.3 + 1.12 = 122.4

答案

U = 122.4

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